Автокорреляционная функция

Рассмотрим дискретный одномерный временной ряд ${\displaystyle X}$, т. е. хронологически упорядоченную последовательность реализаций случайных величин ${\displaystyle \left\{x(t_{1}),\dots ,x(t_{N})\right\}}$. Временной ряд называется дискретным, если ${\displaystyle t_{2}-t_{1}=t_{3}-t_{2}=\dots =t_{N}-t_{N-1}=\Delta }$ (^[1] Т. 2. С. 200).

Предположим, что рассматриваемый временной ряд ${\displaystyle X}$ является строго стационарным, или стационарным в узком смысле (^[2] С. 309), т. е. таким, что для любого произвольного набора из ${\displaystyle m}$ наблюдений ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{m}}$ и любого значения ${\displaystyle \tau }$ совместные распределения вероятностей случайных величин ${\displaystyle x(t_{1}),\dots ,x(t_{m})}$ и ${\displaystyle x(t_{1}+\tau ),\dots ,x(t_{m}+\tau )}$ совпадают (^[3] Т. 2. С. 208). Строгая стационарность влечёт за собой постоянство математического ожидания и дисперсии: приняв ${\displaystyle m=1}$, из определения стационарности в узком смысле получим, что распределение ${\displaystyle x(t)}$ не зависит от момента времени ${\displaystyle t}$ (^[4] Т. 2. C. 208).

Аналогичным образом, приняв ${\displaystyle m=2}$, получим, что для произвольных моментов времени ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ и произвольного сдвига ${\displaystyle \tau }$ двумерные распределения для пар ${\displaystyle (x(t_{1}),x(t_{2}))}$, ${\displaystyle (x(0),x(t_{2}-t_{1}))}$, ${\displaystyle (x(\tau ),x(t_{2}-t_{1}+\tau ))}$ будут совпадать (^[5] Т. 2. С. 209; ^[6] С. 310), т. е. будут совпадать и численные характеристики, в том числе ковариации. Другими словами, ковариация между двумя наблюдениями ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle x(t+\tau )}$ будет зависеть только от величины сдвига ${\displaystyle \tau }$. С учётом того, что полученные таким образом ковариации построены для случайных величин, составляющих один и тот же временной ряд, их называют автоковариациями.

Рассмотрев значения автоковариаций для всех возможных значений величины сдвига ${\displaystyle \tau }$, можно ввести автоковариационную функцию

${\displaystyle \gamma (\tau )=\mathrm {cov} (x(t),x(t+\tau ))}$. (1)

Из уравнения (1) и строгой стационарности временного ряда ${\displaystyle X}$ следует, что ${\displaystyle \gamma (\tau )=\gamma (-\tau )}$.

В соответствии с определением корреляции (^[7] Т. 1. С. 111) можно представить автокорреляционную функцию как

${\displaystyle \rho (\tau )=\mathrm {corr} (x(t),x(t+\tau ))={\frac {\mathrm {cov} (x(t),x(t+\tau ))}{{\sqrt {D(x(t))}}{\sqrt {D(x(t+\tau ))}}}}}$ (2).

В силу строгой стационарности временного ряда дисперсии в знаменателе уравнения (2) равны, так что оно сводится к:

${\displaystyle \rho (\tau )={\frac {\gamma (\tau )}{\gamma (0)}}}$ (3),

где ${\displaystyle \gamma (0)=\mathrm {cov} (x(t),x(t))=D(x(t))}$ (^[8] Т. 2. С. 210; ^[9] С. 311).

График автокорреляционной функции называют коррелограммой.

Приведённые выше рассуждения справедливы только для стационарных временных рядов. В случае, когда временной ряд нестационарен, совместные распределения перестают быть одинаковыми. Таким образом, все численные характеристики будут зависеть от момента времени, а приведённое выше определение автокорреляционной функции потеряет смысл.

На практике зачастую требуется оценивать значения автокорреляций, «очищенных» от влияния промежуточных наблюдений (^[10] С. 341). Можно показать (^[11] С. 111), что частная автокорреляция ${\displaystyle \rho _{part}(k)}$ равна ${\displaystyle a_{k}}$ в решении следующей системы уравнений:

${\displaystyle \rho (s)=a_{1}\rho (s-1)+a_{2}\rho (s-2)+\dots +a_{k}\rho (s-k),\sim s=1,2,\dots ,k}$,

где ${\displaystyle \rho (s)}$ – автокорреляции порядка ${\displaystyle s}$. Следует учесть, что ${\displaystyle \rho (n)=\rho (-n)}$. Решение данной системы легко найти при помощи правила Крамера (^[12] С. 342):

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{part}(k)={\frac {\left|{\begin{matrix}\rho (0)&\rho (1)&\rho (2)&\dots &\rho (1)\\\rho (1)&\rho (0)&\rho (1)&\dots &\rho (2)\\\rho (2)&\rho (1)&\rho (0)&\dots &\rho (3)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\rho (k-1)&\rho (k-2)&\rho (k-3)&\dots &\rho (k)\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}\rho (0)&\rho (1)&\rho (2)&\dots &\rho (k-1)\\\rho (1)&\rho (0)&\rho (1)&\dots &\rho (k-2)\\\rho (2)&\rho (1)&\rho (0)&\dots &\rho (k-3)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\rho (k-1)&\rho (k-2)&\rho (k-3)&\dots &\rho (0)\end{matrix}}\right|}}\end{aligned}}}$ (4).

Следует отметить, что для каждого значения величины сдвига ${\displaystyle \tau }$ требуется строить отдельную систему уравнений (4).

Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции применяются в целях идентификации порядка авторегрессионных моделей и моделей скользящего среднего.