Алгебраический тор

Алгебраи́ческий тор, алгебраическая группа, изоморфная над некоторым расширением основного поля прямому произведению конечного числа мультипликативных групп ${\displaystyle G_{m}}$. Группа ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ всех гомоморфизмов алгебраического тора ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle G_{m}}$ называется группой характеров алгебраического тора ${\displaystyle T}$; она является свободной абелевой группой ранга, равного размерности алгебраического тора ${\displaystyle T}$. Если алгебраический тор ${\displaystyle T}$ определён над полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ наделяется структурой ${\displaystyle G}$-модуля, где ${\displaystyle G}$ есть группа Галуа алгебраического замыкания поля ${\displaystyle k}$. Функтор ${\displaystyle {\ce {T->{\widehat {T}}}}}$ определяет двойственность между категорией алгебраических торов над ${\displaystyle k}$ и категорией ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-свободных ${\displaystyle G}$-модулей конечного ранга. Алгебраический тор, изоморфный произведению групп ${\displaystyle G_{m}}$ над своим полем определения ${\displaystyle k}$, называется расщепимым над ${\displaystyle k}$; всякий алгебраический тор расщепляется над конечным сепарабельным расширением поля ${\displaystyle k}$. В теории алгебраических групп алгебраический тор играет роль, весьма схожую с ролью торов в теории групп Ли. Изучение алгебраических торов, определённых над полем алгебраических чисел, занимает важное место в вопросах арифметики и классификации алгебраических групп (см. Линейная алгебраическая группа, Число Тамагавы).