Алгебра Стинрода

А́лгебра Сти́нрода, градуированная алгебра ${\displaystyle A_{p}}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ стационарных когомологических операций ${\displaystyle {\bmod {p}}}$. Для любого пространства (спектра пространств) ${\displaystyle X}$ группа ${\displaystyle H^{*}\left(X;\mathbb {Z} _{p}\right)}$ является модулем над алгеброй Стинрода ${\displaystyle A_{p}}$.

Алгебра Стинрода мультипликативно порождается операциями Стинрода. Так, алгебра Стинрода ${\displaystyle A_{2}}$ является градуированной ассоциативной алгеброй, мультипликативно порождённой символами ${\displaystyle Sq^{i}}$ степеней ${\displaystyle \operatorname {deg} Sq^{i}=i}$, подчинёнными соотношениям Адема:

${\displaystyle Sq^{a}Sq^{b}=\sum _{t}\left({\begin{array}{c}b-t-1\\a-2t\end{array}}\right)Sq^{a+b-t}Sq^{t}}$,

${\displaystyle a<2b}$, так что аддитивный базис (над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$) алгебры Стинрода ${\displaystyle A_{2}}$ состоит из операций ${\displaystyle Sq^{i_{1}},\ldots ,Sq^{i_{r}}}$, ${\displaystyle i_{k}\geqslant 2i_{k+1}}$ (т. н. базис Картана – Cepрa). Аналогичное верно и для ${\displaystyle A_{p}}$ с ${\displaystyle p>2}$. Далее,

${\displaystyle \left(A_{p}\right)^{i}\cong H^{i+n}\left(K\left(\mathbb {Z} _{p},n\right);\mathbb {Z} _{p}\right),n\gg i}$,

где ${\displaystyle K\left(\mathbb {Z} _{p},n\right)}$ – пространство Эйленберга – Маклейна. Умножение

${\displaystyle K\left(\mathbb {Z} _{p},m\right)\wedge K\left(\mathbb {Z} _{p},n\right)\rightarrow K\left(\mathbb {Z} _{p},m+n\right)}$

задаёт в алгебре Стинрода диагональ ${\displaystyle \Delta :A_{p}\rightarrow A_{p}\otimes A_{p}}$, являющуюся гомоморфизмом алгебр и, следовательно, превращающую ${\displaystyle A_{p}}$ в алгебру Хопфа.