Аналитическое кручение

Аналити́ческое круче́ние (кручение Рэя – Зингера), гладкого замкнутого многообразия ${\displaystyle M}$ и плоского расслоения ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle M}$, число

${\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta '_{k}(0)/2\right),}$ (1)

где ${\displaystyle \zeta '_{k}(0)}$ – значение в точке ${\displaystyle s=0}$ аналитического продолжения производной ${\displaystyle \zeta }$-функции оператора Лапласа на дифференциальных ${\displaystyle k}$-формах со значениями в ${\displaystyle E}$. Число (1) не зависит от выбора римановой метрики, определяющей операторы Лапласа, и определяет топологический инвариант гладкого многообразия и плоского расслоения. Аналитическое кручение было определено Рэем и Зингером как аналог кручения Райдемайстера, которое определяется в терминах гладкой триангуляции многообразия. Равенство аналитического кручения и кручения Райдемайстера было доказано независимо Чигером и Мюллером. Имеются многочисленные обобщения аналитического кручения. Например, аналитическое кручение определялось для многообразий с краем, многообразий с особенностями, многообразий с действиями групп; определялось аналитическое кручение для семейств многообразий как дифференциальная форма на пространстве параметров.