Анизотропная группа

Анизотро́пная гру́ппа над полем ${\displaystyle k}$, линейная алгебраическая группа ${\displaystyle G}$, определённая над полем ${\displaystyle k}$ и имеющая нулевой ${\displaystyle k}$-ранг, т. е. не содержащая нетривиальных ${\displaystyle k}$-разложимых торов (см. в статье Разложимая группа). Классические примеры анизотропных групп – ортогональные группы квадратичных форм, не представляющих нуля над ${\displaystyle k}$; алгебраические группы, определяемые подгруппами элементов единичной нормы в алгебрах с делением над полем ${\displaystyle k}$. Если группа ${\displaystyle G}$ полупроста, а характеристика ${\displaystyle k}$ равна нулю, то группа ${\displaystyle G}$ анизотропна над ${\displaystyle k}$ тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle G_{k}}$ нет неединичных унипотентных элементов (для поля действительных чисел или поля ${\displaystyle p}$-адических чисел это эквивалентно компактности ${\displaystyle G_{k}}$ ). Классификация произвольных полупростых групп над полем ${\displaystyle k}$ в существенной мере сведена к классификации анизотропной группы.