Аппроксимативная дифференцируемость

Аппроксимати́вная дифференци́руемость, обобщение понятия дифференцируемости с заменой обычного предела аппроксимативным пределом. Действительная функция ${\displaystyle f(x)}$ действительного переменного называется аппроксимативно дифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если существует такое число ${\displaystyle A}$, что

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\mathrm {ap} \,{\frac {f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})}{\mid x-x_{0}\mid }}=0}$.

При этом величина ${\displaystyle A(x-x_{0})}$ называется аппроксимативным дифференциалом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Функция ${\displaystyle f(x)}$ аппроксимативно дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$ в том и только том случае, если она имеет в этой точке аппроксимативную производную ${\displaystyle f'_{\mathrm {ap} }(x_{0})=A}$. Аналогично определяется аппроксимативная дифференцируемость для действительных функций ${\displaystyle n}$ действительных переменных. Например, в случае ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle f(x,y)}$ называется аппроксимативно дифференцируемой в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, если

${\displaystyle \mathop {\mathrm {lim} } \limits _{\begin{smallmatrix}x\to x_{0}\\y\to y_{0}\end{smallmatrix}}\mathrm {ap} \,{\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-A(x-x_{0})-B(y-y_{0})}{\rho }}=0}$,

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – некоторые числа, ${\displaystyle \rho ={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}$. Выражение ${\displaystyle A(x-x_{0})-B(y-y_{0})}$ называется аппроксимативным дифференциалом функции ${\displaystyle f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Теорема Степанова: действительная функция ${\displaystyle f(x,y)}$, измеримая на множестве ${\displaystyle E}$, аппроксимативно дифференцируема почти всюду на ${\displaystyle E}$ в том и только том случае, если почти всюду на ${\displaystyle E}$ она имеет конечные аппроксимативные частные производные по ${\displaystyle x}$ и по ${\displaystyle y}$; эти частные производные почти всюду на ${\displaystyle E}$ совпадают соответственно с коэффициентами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ аппроксимативного дифференциала.

Понятие аппроксимативной дифференцируемости распространяется также на вектор-функции одного или нескольких действительных переменных.