Арккосинус

Аркко́синус, функция, обратная к косинусу, одна из обратных тригонометрических функций. Обозначается ${\displaystyle \arccos {x}}$, реже ${\displaystyle \cos ^{-1}{x}}$. Многозначная функция обозначается ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Arccos} } {x}}$.

Главная ветвь арккосинуса ${\displaystyle y=\arccos {x}}$ – непрерывная монотонно убывающая функция с областью определения ${\displaystyle [-1,1]}$ и областью значений ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$ (рис.).

Функция арккосинус не является чётной или нечётной:

${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}$.

Некоторые свойства:

${\displaystyle \cos(\arccos x)=x,\ \ \ -1\leq x\leq 1}$,

${\displaystyle \arccos(\cos x)=x,\ \ \ 0\leq x\leq \pi }$,

${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}$.

Производная арккосинуса:

${\displaystyle \displaystyle \left(\arccos {x}\right)^{\prime }=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Первообразная арккосинуса:

${\displaystyle \displaystyle \int {\arccos {x}\,dx}=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$,

где ${\displaystyle C}$ – константа.