Арккотангенс

Арккота́нгенс, функция, обратная к котангенсу, одна из обратных тригонометрических функций. Обозначается ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x}$, реже ${\displaystyle \mathop {\mathrm {arccot} } x}$, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {arcctn} } x}$ и ${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{-1}x}$. Многозначная функция обозначается ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Arcctg} } x}$.

Главная ветвь аркrкотангенса ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x}$ – непрерывная монотонно убывающая функция с областью определения ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ и областью значений ${\displaystyle (0,\pi )}$ (рис.).

Некоторые свойства функции ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x}$:

${\displaystyle \mathrm {ctg} \,(\mathrm {arcctg} \,x)=x,\ \ \ x\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,(-x)=\pi -\mathrm {arctg} \,x}$,

${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}-\mathrm {arctg} \,x}$.

Производная арккотангенса:

${\displaystyle \displaystyle \left(\operatorname {arcctg} {x}\right)^{\prime }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Первообразная арккотангенса:

${\displaystyle \displaystyle \int {\operatorname {arcctg} {x}dx}=x\ \operatorname {arcctg} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\mid 1+x^{2}\mid }+C}$,

где ${\displaystyle C}$ – константа.