Вектор рангов

Ве́ктор ра́нгов, векторная статистика ${\displaystyle R=(R_{1},\dots ,R_{n})}$, построенная по случайному вектору наблюдений ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})}$, ${\displaystyle i}$-я компонента которой ${\displaystyle R_{i}=R_{i}(X)}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$, определяется по правилу

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}\delta (X_{i}-X_{j})}$,

где ${\displaystyle \delta (x)}$ – характеристическая функция множества ${\displaystyle [0,+\infty )}$, т. е.

${\displaystyle \delta (x)=\left\{{\begin{aligned}&1,\ {\text{если}}\ x\geq 0,\\&0,\ {\text{если}}\ x<0.\end{aligned}}\right.}$

Статистика ${\displaystyle R_{i}}$ называется рангом ${\displaystyle i}$-й компоненты ${\displaystyle X_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$, случайного вектора ${\displaystyle X}$. Определение вектора рангов будет корректным при выполнении следующего условия:

${\displaystyle \mathbf {P} \{R_{i}=R_{j}\}=0,\quad i\neq j}$,

которое заведомо выполняется, если распределение вероятностей случайного вектора ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью ${\displaystyle p(x)=p(x_{1},\dots ,x_{n})}$. В этих условиях из определения вектора рангов следует, что статистика ${\displaystyle R}$ принимает значения в пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {R}}=\{r\}}$ всех перестановок ${\displaystyle r=(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ чисел ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$, при этом реализация ${\displaystyle r_{i}}$ (${\displaystyle r_{i}=1,2,\dots ,n}$) ранга ${\displaystyle R_{i}}$ численно равна количеству компонент вектора ${\displaystyle X}$, наблюдённые значения которых не превосходят реализации ${\displaystyle i}$-й компоненты ${\displaystyle X_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$.

Пусть ${\displaystyle X^{(\cdot )}=(X_{(n1)},\dots ,X_{(nn)})}$ – вектор порядковых статистик, построенный по вектору наблюдений и ${\displaystyle X}$. Тогда пара ${\displaystyle (R,X^{(\cdot )})}$ является достаточной статистикой для распределения вектора ${\displaystyle X}$, причём сам вектор ${\displaystyle X}$ однозначно восстанавливается по достаточной статистике ${\displaystyle (R,X^{(\cdot )})}$. Кроме того, при дополнительном предположении о симметричности плотности вероятности ${\displaystyle p(x)}$ случайного вектора ${\displaystyle X}$ относительно перестановок аргументов компоненты ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle X^{(\cdot )}}$ достаточной статистики ${\displaystyle (R,X^{(\cdot )})}$ независимы и

${\displaystyle \mathbf {P} \{R=r\}={\frac {1}{n!}},\quad r\in {\mathfrak {R}}}$.

В частности, если

${\displaystyle p(x)=p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i}),}$ (1)

т. е. компоненты ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ случайного вектора ${\displaystyle X}$ суть независимые одинаково распределяемые случайные величины [${\displaystyle f(x_{i})}$ – плотность вероятности случайной величины ${\displaystyle X_{i}}$], то

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}\mathbf {P} \{&R_{i}=k\}={\frac {1}{n}},\quad i=1,2,\dots ,n,\\\mathbf {P} \{R_{i}=k,\,&R_{j}=m\}={\frac {1}{n(n-1)}},\quad i\neq j,\ k\neq m,\\&i,j,k,m=1,2,\dots ,n,\\\mathbf {E} \{R_{i}\}={\frac {n+1}{2}}&,\quad \mathbf {D} \{R_{i}\}={\frac {n^{2}-1}{12}},\ i=1,2,\dots ,n,\end{aligned}}\right\}}$ (2)

для любого ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n}$.

При выполнении условия (1) существует совместная плотность вероятности ${\displaystyle q(x_{i},k)}$, ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n}$, случайных величин ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle R_{i}}$, которая выражается формулой

${\displaystyle q(x_{i},k)={\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}[F(x_{i})]^{k-1}[1-F(x_{i})]^{n-k}f(x_{i}),}$ (3)

где ${\displaystyle F(x_{i})}$ – функция распределения случайной величины ${\displaystyle X_{i}}$. Из (2) и (3) следует, что условная плотность вероятности ${\displaystyle q(x_{i}\mid R_{i}=k)}$ случайной величины ${\displaystyle X_{i}}$ при условии, что ${\displaystyle R_{i}=k}$ (${\displaystyle k=1,2,\dots ,n}$), выражается формулой

${\displaystyle q(x_{i}\mid R_{i}=k)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}[F(x_{i})]^{k-1}[1-F(x_{i})]^{n-k}f(x_{i}).}$ (4)

Последняя формула позволяет проследить внутреннюю связь, существующую между вектором наблюдений ${\displaystyle X}$, вектором рангов ${\displaystyle R}$ и вектором порядковых статистик ${\displaystyle X^{(\cdot )}}$, т. к. (4) есть не что иное, как плотность вероятности ${\displaystyle k}$-й порядковой статистики ${\displaystyle X_{(mk)}}$, ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n}$. Кроме того, из (3) следует, что условное распределение ранга выражается формулой

${\displaystyle \mathbf {P} \{R_{i}=k\mid X_{i}\}={\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}[F(x_{i})]^{k-1}[1-F(x_{i})]^{n-k}}$.

И, наконец, при допущении о существовании моментов ${\displaystyle \mathbf {E} \{X_{i}\}}$ и ${\displaystyle \mathbf {D} \{X_{i}\}}$ и выполнении (1) из (2) и (3) следует, что коэффициент корреляции ${\displaystyle \rho (X_{i},R_{i})}$ между ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle R_{i}}$ равен

${\displaystyle \rho (X_{i},R_{i})={\sqrt {\frac {12(n-1)}{(n+1)\mathbf {D} \{X_{i}\}}}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{i}{\Big [}F(x_{i})-{\frac {1}{2}}{\Big ]}\,dF(x_{i})}$.

В частности, если ${\displaystyle X_{i}}$ подчиняется равномерному распределению на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, то

${\displaystyle \rho (X_{i},R_{i})={\sqrt {\frac {n-1}{n+1}}}}$.

В случае если ${\displaystyle X_{i}}$ подчиняется нормальному распределению ${\displaystyle N(a,\sigma ^{2})}$, то

${\displaystyle \rho (X_{i},R_{i})={\sqrt {\frac {3(n-1)}{\pi (n+1)}}}}$,

причём ${\displaystyle \rho (X_{i},R_{i})}$ не зависит от параметров нормального закона.