Вложение Сегре

Вложе́ние Се́гре, вложение ${\displaystyle \varphi :P^{n}\times P^{m}\rightarrow P^{N}}$ произведения проективных пространств ${\displaystyle P^{n}\times P^{m}}$ в проективное пространство ${\displaystyle P^{N}}$, где ${\displaystyle N=nm+n+m}$. Если ${\displaystyle x=\left(u_{0}\ldots u_{n}\right)\in P^{n}}$, ${\displaystyle y=\left(v_{0}\cdots v_{m}\right)\in P^{m}}$, a ${\displaystyle w_{i,j}}$, ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$, ${\displaystyle j=0,\ldots ,m}$, – однородные координаты в ${\displaystyle P^{N}}$, то отображение определяется формулой

${\displaystyle \varphi (x\times y)=\left(w_{i,j}\right)\in P^{N},}$

где ${\displaystyle w_{ij}=u_{i}v_{j}}$. Отображение ${\displaystyle \varphi }$ корректно определено и является замкнутым вложением. Образ вложения Сегре ${\displaystyle \varphi \left(P^{n}\times P^{m}\right)}$ называется многообразием Сегре. Случай ${\displaystyle n=m=1}$ имеет простой геометрический смысл: ${\displaystyle \varphi \left(P^{1}\times P^{1}\right)}$ – это невырожденная квадрика в ${\displaystyle P^{3}}$ с уравнением ${\displaystyle w_{11}w_{00}=w_{01}w_{10}}$. Образы ${\displaystyle \varphi \left(x\times P^{1}\right)}$ и ${\displaystyle \varphi \left(P^{1}\times y\right)}$ дают два семейства прямолинейных образующих на квадрике.

Названо в честь Б. Сегре.