Вращение (в математике)

Враще́ние, частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка пространства остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая – осью вращения. Вращение евклидова пространства называется собственным (вращение 1-го рода) или несобственным (вращение 2-го рода) в зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ориентацию пространства.

На плоскости собственное вращение выражается аналитически в декартовых прямоугольных координатах ${\displaystyle (x,y)}$ при помощи формул (начало координат в центре вращения)

${\displaystyle {\tilde {x}}=x\cos \varphi -y\sin \varphi ,\quad {\tilde {y}}=x\sin \varphi +y\cos \varphi }$,

где ${\displaystyle \varphi }$ – угол поворота. Собственное вращение на угол ${\displaystyle \varphi }$ может быть представлено как произведение двух осевых симметрий с осями, пересекающимися под углом ${\displaystyle \varphi /2}$. Несобственное вращение на плоскости выражается аналитически в декартовых прямоугольных координатах ${\displaystyle (x,y)}$ при помощи формул (начало координат в центре вращения):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {x}}=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,\\&{\tilde {y}}=x\sin \varphi -y\cos \varphi ,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \varphi }$ – угол поворота. Несобственное вращение на плоскости может быть представлено как произведение собственного вращения на осевую симметрию.

В случае ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства вращение аналитически выражается с помощью ортогональной матрицы, которая приводится к каноническому виду:

${\displaystyle {\begin{aligned}M=\left\|{\begin{array}{ccccc}u_{1}&&&&0\\&\ddots &&&\\&&u_{k}&&\\&&&\varepsilon _{p}&\\0&&&&-\varepsilon _{q}\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$,

где

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}=\left\|{\begin{array}{rr}\cos \varphi _{i}&\sin \varphi _{i}\\-\sin \varphi _{i}&\cos \varphi _{i}\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$.

${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ – единичная матрица порядка ${\displaystyle s(s=p,q)}$. Возможны следующие случаи:

1) ${\displaystyle p=n}$ – тождественное преобразование;

2) ${\displaystyle q=n}$ – вращение является центральной симметрией;

3) ${\displaystyle p+q=n}$ – вращение является симметрией относительно ${\displaystyle p}$-плоскости (отражением от ${\displaystyle p}$-плоскости);

4) ${\displaystyle M}$ не содержит подматриц ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ и ${\displaystyle -\varepsilon _{q}}$ – вращение называется поворотом вокруг единственной неподвижной точки;

5) ${\displaystyle M}$ содержит подматрицы ${\displaystyle u_{i}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$, но не содержит подматрицу ${\displaystyle -\varepsilon _{q}}$ – вращение называется поворотом вокруг ${\displaystyle p}$-плоскости;

6) ${\displaystyle M}$ содержит подматрицы ${\displaystyle u_{i}}$ и ${\displaystyle -\varepsilon _{q}}$, но не содержит подматрицы ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ – вращение называется поворотным отражением от ${\displaystyle (n-q)}$-плоскости.

Вращение евклидова пространства ${\displaystyle E_{n}}$ вокруг данной точки образует группу относительно операции умножения вращения, изоморфную группе ортогональных преобразований векторного пространства ${\displaystyle R^{n}}$ или группе ортогональных матриц порядка ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle R}$. Группа вращения пространства ${\displaystyle E_{n}}$ является ${\displaystyle n(n-1)/2}$-мерной группой Ли и действует в ${\displaystyle E_{n}}$ интранзитивно.