Выпуклая метрика

Вы́пуклая ме́трика, внутренняя метрика на двумерном многообразии ${\displaystyle M}$, удовлетворяющая некоторому условию выпуклости. Точнее, пусть ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ две кратчайшие, исходящие из некоторой точки ${\displaystyle O\in M}$, ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – точки на них, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ – расстояние от ${\displaystyle O}$ до ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle z}$ – расстояние между ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle \gamma (x,y)}$ – угол в плоском треугольнике со сторонами, равными ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, лежащий против стороны, равной ${\displaystyle z}$. Условие выпуклости метрики (в точке ${\displaystyle O}$) состоит в том, что ${\displaystyle \gamma (x,y)}$ является невозрастающей функцией (т. е. ${\displaystyle \gamma (x_{1},y_{1})\geqslant \gamma (x_{2},y_{2})}$ при ${\displaystyle x_{1}\leqslant x_{2}}$, ${\displaystyle y_{1}\leqslant y_{2}}$) на всякой паре промежутков ${\displaystyle 0<x\leqslant x_{0}}$, ${\displaystyle 0<y\leqslant y_{0}}$, такой что точки ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, соответствующие любым двум значениям из этих промежутков, можно соединить кратчайшей. Внутренняя метрика является выпуклой метрикой тогда и только тогда, когда она есть метрика неотрицательной кривизны. Метрика выпуклой поверхности является выпуклой метрикой. Обратно, любое двумерное многообразие с выпуклой метрикой реализуется в виде выпуклой поверхности (теорема А. Д. Александрова).