Вырожденное гиперболическое уравнение

Вы́рожденное гиперболи́ческое уравне́ние, дифференциальное уравнение с частными производными

${\displaystyle F(t,x,Du)=0,}$ (*)

где функция ${\displaystyle F(t,x,q)}$ удовлетворяет условию: корни многочлена

${\displaystyle \sum _{\mid \alpha \mid =m}{\frac {\partial F(t,x,Du)}{\partial q_{\alpha }}}\lambda ^{\alpha _{0}}\xi ^{\alpha '}}$

действительны при всех действительных ${\displaystyle \xi }$ и существуют ${\displaystyle \xi \neq 0}$, ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle Du}$, при которых либо некоторые корни совпадают, либо коэффициент при ${\displaystyle \lambda ^{m}}$ обращается в нуль. Здесь ${\displaystyle t}$ – независимая переменная, часто интерпретируемая как время; ${\displaystyle x}$ есть ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$; ${\displaystyle u(t,x)}$ – искомая функция; ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \alpha '}$ – мультииндексы ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{0},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$, ${\displaystyle \alpha '=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$; ${\displaystyle Du}$ – вектор с компонентами

${\displaystyle D^{\alpha }u={\frac {\partial \mid \alpha \mid }{\partial t^{\alpha _{0}}\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$,

причём в уравнение (${\displaystyle *}$) входят производные порядка не выше ${\displaystyle m}$; ${\displaystyle q_{\alpha }}$ – компоненты вектора ${\displaystyle q}$; ${\displaystyle \xi }$ есть ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n})}$ и ${\displaystyle \xi ^{\alpha '}=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\xi _{2}^{\alpha _{2}}\dots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$.

См. также статью Вырожденное уравнение с частными производными.