Вырожденное гипергеометрическое уравнение

Вы́рожденное гипергеометри́ческое уравне́ние, конфлюэнтное уравнение, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

${\displaystyle zw''+(\gamma -z)w'-\alpha w=0,\quad \alpha ,\gamma =\operatorname {const} ,}$ (1)

или, в самосопряжённой форме,

${\displaystyle (e^{-z}z^{\gamma }w')'-\alpha e^{-z}z^{\gamma -1}w=0}$.

Переменные ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle w}$ и параметры ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \gamma }$ в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведённой формой уравнения (1) является уравнение Уиттекера. Уравнение (1) тесно связано с гипергеометрическим уравнением. Вырожденное гипергеометрическое уравнение можно рассматривать как уравнение, получающееся из дифференциального уравнения Римана при слиянии двух особых точек. Точка ${\displaystyle x=0}$ является для уравнения (1) регулярной особой точкой, а точка ${\displaystyle x=\infty }$ – сильно особой. Впервые систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Э. Э. Куммер (Kummer. 1836).

Решения уравнения (1) выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию ${\displaystyle \Phi (\alpha ,\gamma ;z)}$. Если ${\displaystyle \gamma }$ не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде

${\displaystyle w=C_{1}\Phi (\alpha ,\gamma ,z)+C_{2}z^{1-\gamma }\Phi (\alpha +1-\gamma ,2-\gamma ;z),}$ (2)

где ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$ – произвольные постоянные; это представление справедливо в комплексной плоскости ${\displaystyle z}$ с разрезом ${\displaystyle (-\infty ,0)}$. Для целых значений ${\displaystyle \gamma }$ общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (2) (например, функции Уиттекера, см. Кратцер. 1963^[1]; Бейтмен. 1965^[2]). Решение уравнения (1) может быть представлено также через контурные интегралы в комплексной плоскости ${\displaystyle z}$.

Многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (например, уравнение Бесселя) преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. Камке. 1976^[3]). В частности, уравнение вида

${\displaystyle (a_{0}z+b_{0})w''+(a_{1}z+b_{1})w'+(a_{2}z+b_{2})w=0}$
${\displaystyle a_{i},b_{i}=\operatorname {const} ,}$

интегрируется с помощью вырожденной гипергеометрической функции.