Вырожденное параболическое уравнение

Вы́рожденное параболи́ческое уравне́ние, дифференциальное уравнение с частными производными

${\displaystyle F(t,x,Du)=0,}$

где функция ${\displaystyle F(t,x,q)}$ обладает свойством: для некоторого чётного натурального числа ${\displaystyle p}$ все корни ${\displaystyle \lambda }$ многочлена

${\displaystyle \sum _{\alpha :\,p\alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=m}{\frac {\partial F(t,x,Du)}{\partial q_{\alpha }}}\lambda ^{\alpha _{0}}(i\xi )^{\alpha ^{\prime }}}$

имеют неположительные действительные части для всех действительных ${\displaystyle \xi }$, причём при некоторых ${\displaystyle \xi \neq 0}$, ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle Du}$ для какого-либо корня ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda =0}$, либо при некоторых ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle Du}$ коэффициент при старшей степени ${\displaystyle \lambda ^{m/p}}$ обращается в нуль. Здесь ${\displaystyle t}$ – независимая переменная, часто интерпретируемая как время; ${\displaystyle x}$ есть ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$; ${\displaystyle u(t,x)}$ – искомая функция; ${\displaystyle \alpha }$ – мультииндекс ${\displaystyle \left(\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$; ${\displaystyle Du}$ – вектор с компонентами

${\displaystyle D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial t^{\alpha _{0}}\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},}$

причём ${\displaystyle p\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leqslant m}$; ${\displaystyle q}$ – вектор с компонентами ${\displaystyle q_{\alpha }}$; ${\displaystyle \xi }$ есть ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle \left(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}\right)}$ и ${\displaystyle (i\xi )^{\alpha ^{\prime }}=\left(i\xi _{1}\right)^{\alpha _{1}}\ldots \left(i\xi _{n}\right)^{\alpha _{n}}}$ (см. также статью Вырожденное уравнение с частными производными).