Гиперкомплексное число

Гиперкомпле́ксное число́, элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически гиперкомплексные числа возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках построить числа, которые играли бы для трёхмерного пространства роль комплексных чисел для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию теории систем гиперкомплексных чисел.

Гиперкомплексная система ранга ${\displaystyle n}$ получается введением умножения в ${\displaystyle n}$-мерном действительном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. Пусть ${\displaystyle 1}$ – единица гиперкомплексной системы и ${\displaystyle 1,i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-1}}$ – некоторый базис пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Гиперкомплексное число

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}i_{1}-\ldots -a_{n}i_{n}}$

из гиперкомплексной системы ${\displaystyle U}$ называется сопряжённым к гиперкомплексному числу

${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}i_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}}$.

Пусть ${\displaystyle U^{(2)}=\left\{u_{1}+u_{2}e\right\}}$, где ${\displaystyle u_{1},u_{2}\in U}$, а ${\displaystyle e}$ – некоторый новый символ. Множество ${\displaystyle U^{(2)}}$ можно превратить в гиперкомплексную систему, определяя сложение формулой

${\displaystyle \left(u_{1}+u_{2}e\right)+\left(v_{1}+v_{2}e\right)=\left(u_{1}+v_{1}\right)+\left(u_{2}+v_{2}\right)e}$

и умножение формулой

${\displaystyle \left(u_{1}+u_{2}e\right)\left(v_{1}+v_{2}e\right)=\left(u_{1}v_{1}-{\bar {v}}_{2}u_{2}\right)+\left(v_{2}u_{1}+u_{2}{\bar {v}}_{1}\right)e}$.

Гиперкомплексная система ${\displaystyle U^{(2)}}$ называется удвоением гиперкомплексной системы ${\displaystyle U}$.

Примеры гиперкомплексных систем: действительные числа, комплексные числа, кватернионы, числа Кэли (в этом перечне каждая следующая система получается из предыдущей удвоением). Другие примеры – системы двойных и дуальных чисел, гиперкомплексных чисел вида

${\displaystyle A=a_{0}\cdot 1+\sum _{\gamma =1}^{2^{n-1}}a_{\gamma }i_{\gamma }}$,

при ${\displaystyle n=4}$, называются числами Клиффорда – Липшица (эти гиперкомплексные числа являются элементами алгебр Клиффорда ранга ${\displaystyle 2^{n}}$). Важным примером гиперкомплексных систем являются полные матричные алгебры над ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Иногда в определение системы гиперкомплексных чисел включают требование ассоциативности умножения или отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы.