Гипотеза Ходжа

Гипо́теза Хо́джа, предположение о том, что для любого гладкого проективного многообразия ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел и для любого целого ${\displaystyle p\geqslant 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-пространство ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{p,p}}$, где ${\displaystyle H^{p,p}}$ – компонента типа ${\displaystyle (p,p)}$ в разложении Ходжа

${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Q} )\bigotimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =\bigoplus _{r=0}^{2p}H^{r,2p-r}}$,

порождается классами когомологий алгебраических циклов коразмерности ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle X}$. Эта гипотеза была выдвинута У. Ходжем (Hodge. 1952^[1]).

В случае ${\displaystyle p=1}$ гипотеза Ходжа равносильна теореме Лефшеца о когомологиях типа (1,1). Гипотеза Ходжа доказана также для следующих классов многообразий:

1) ${\displaystyle X}$ – гладкое ${\displaystyle 4}$-мерное унилинейчатое многообразие, т. е. такое, что существует рациональное отображение конечной степени ${\displaystyle {\ce {P^{1}\times Y->X}}}$, где ${\displaystyle Y}$ – гладкое многообразие (Conte. 1978^[2]). Унилинейчатыми многообразиями являются, например, унирациональные (Conte. 1980^[3]);

2) ${\displaystyle X}$ – гладкая гиперповерхность Ферма простой степени (Ran. 1980^[4]; Shioda. 1979^[5]);

3) ${\displaystyle X}$ – простое ${\displaystyle 5}$-мерное абелево многообразие (Танкеев. 1981^[6]);

4) ${\displaystyle X}$ – простое ${\displaystyle d}$-мерное абелево многообразие, причём ${\displaystyle \mathop {\rm {End}} (X)\bigotimes \limits _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{l}}$, ${\displaystyle {\cfrac {d}{l}}}$ – нечётное число или ${\displaystyle \mathop {\rm {End}} (X)\bigotimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =[M_{2}(\mathbb {R} )]^{l}}$, ${\displaystyle {\cfrac {d}{2l}}}$ – нечётное число.