Голоморф группы

Голомо́рф гру́ппы, понятие теории групп, возникшее в связи с решением следующей задачи. Можно ли включить любую данную группу ${\displaystyle G}$ в качестве нормальной подгруппы в некоторую другую группу так, чтобы все автоморфизмы группы ${\displaystyle G}$ были следствиями внутренних автоморфизмов этой большей группы? Для решения такой задачи строят по группе ${\displaystyle G}$ и eё группе автоморфизмов ${\displaystyle \Phi (G)}$ новую группу ${\displaystyle \Gamma }$, элементами которой являются пары ${\displaystyle (g,\varphi )}$, где ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle \varphi \in \Phi (G)}$, и в которой определяется композиция пар по следующей формуле:

${\displaystyle \left(g_{1},\varphi _{1}\right)\left(g_{2},\varphi _{2}\right)=\left(g_{1}g_{2}^{\varphi _{1}^{-1}},\varphi _{1}\varphi _{2}\right)}$;

здесь ${\displaystyle g_{2}^{\varphi _{1}^{-1}}}$ – образ элемента ${\displaystyle g_{2}}$ при автоморфизме ${\displaystyle \varphi _{1}^{-1}}$. Группа ${\displaystyle \Gamma }$ (или изоморфная ей группа) называется голоморфом группы ${\displaystyle G}$. Множество пар вида ${\displaystyle (g,\varepsilon )}$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ – единица группы ${\displaystyle \Phi (G)}$, составляет подгруппу, изоморфную исходной группе ${\displaystyle G}$. Аналогично, пары вида ${\displaystyle (e,\varphi )}$, где ${\displaystyle e}$ – единица группы ${\displaystyle G}$, составляют подгруппу, изоморфную группе ${\displaystyle \Phi (G)}$. Формула

${\displaystyle \left(e,\varphi ^{-1}\right)(g,\varepsilon )(e,\varphi )=\left(g^{\varphi },\varepsilon \right)}$

показывает, что группа ${\displaystyle \Gamma }$ в действительности является решением поставленной задачи.