Градиентная динамическая система

Градие́нтная динами́ческая систе́ма, поток, задаваемый градиентом гладкой функции ${\displaystyle f}$ на гладком многообразии. При дифференцировании ${\displaystyle f}$ непосредственно получается ковариантный вектор (например, в конечномерном случае в координатной окрестности ${\displaystyle U}$ с локальными координатами ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ это будет вектор с компонентами ${\displaystyle \partial f/\partial x^{\mathbf {1} },\ldots ,\partial f/\partial x^{n}}$), тогда как вектор фазовой скорости является контравариантным вектором. Переход от одного к другому осуществляется с помощью какой-либо римановой метрики, от выбора которой (наряду с ${\displaystyle f}$) зависит, таким образом, определение градиентной динамической системы; часто у вектора фазовой скорости ещё меняют знак. В приведённом примере градиентная динамическая система в области ${\displaystyle U}$ описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dx^{i}}{dt}}=\pm \sum _{j}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}},\quad j=1,\ldots ,n}$,

где коэффициенты ${\displaystyle g^{ij}}$ образуют матрицу, обратную по отношению к матрице коэффициентов ${\displaystyle \left\|g_{ij}\right\|}$ метрического тензора; подразумевается, что во всех ${\displaystyle n}$ уравнениях правая часть берётся с одним и тем же знаком «плюс» или «минус». Часто под градиентной динамической системой понимают системы несколько более общего типа (^[1]).