Группа Вейля – Шатле

Гру́ппа Ве́йля – Шатле́, группа главных однородных пространств над абелевым многообразием. То, что для любого абелева многообразия ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle k}$ множество ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)}$ главных однородных пространств над ${\displaystyle A}$, определённых над ${\displaystyle k}$, обладает групповой структурой, было доказано А. Вейлем (Weil. 1955^[1]), а в одном частном случае – Ф. Шатле. Группа ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)}$ изоморфна одномерной группе когомологий Галуа ${\displaystyle H^{1}(k,A)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)}$ всегда периодична, кроме того, в случае ${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$ в ней имеются элементы произвольного порядка (Шaфapeвич. О бирациональной ... 1957^[2]; Шaфapeвич. Показатели ... 1957^[3]). Согласно теореме Ленга ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)=0}$, если ${\displaystyle k}$ – конечное поле. Для любого элемента ${\displaystyle D\in \mathrm {WC} (A,k)}$ определён показатель ${\displaystyle I=\operatorname {ind} _{k}(D)}$, равный наименьшей степени расширения ${\displaystyle K/k}$, для которого существует ${\displaystyle K}$-рациональная точка ${\displaystyle D}$. В случае, когда ${\displaystyle \dim A=1}$ и ${\displaystyle k}$ – поле алгебраических функций над алгебраически замкнутым полем констант или локальное поле, ${\displaystyle I}$ совпадает с порядком ${\displaystyle D}$ в группе ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)}$ (Шaфapeвич. 1961; Lichtenbaum. 1968^[4]). В общем случае эти числа различны, однако всегда ${\displaystyle \mathrm {ord} (D)}$ делит ${\displaystyle I}$ (Lang. 1958). Для локальных полей ${\displaystyle k}$ группа ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)}$ вычисляется (см., например, Шaфapeвич. 1961; Ogg. 1962^[5]; Tate. 1958).

Если ${\displaystyle k}$ – глобальное поле, то основой для вычисления группы ${\displaystyle \mathrm {WC} (A,k)}$ являются гомоморфизмы редукции

${\displaystyle \varphi _{v}:\mathrm {WC} (A,k)\longrightarrow \mathrm {WC} (A,k_{v}),}$

где ${\displaystyle v}$ – произвольное нормирование поля ${\displaystyle k}$, a ${\displaystyle k_{v}}$ – пополнение ${\displaystyle k}$ относительно ${\displaystyle v}$. Ядро ${\displaystyle {\text{Ш}}(A)}$ гомоморфизма

${\displaystyle \varphi =\sum \varphi _{v}:\mathrm {WC} (A,k)\longrightarrow \sum _{v}\mathrm {WC} (A,k_{v}),}$

называемое группой Тейта – Шафаревича абелевого многообразия ${\displaystyle A}$, вычислено только в случае, когда ${\displaystyle k}$ – поле алгебраических функций от одного переменного над алгебраически замкнутым полем констант (см. Шaфapeвич. Показатели ... 1957, Ogg. 1962, Raynaud. 1966). В этом же случае описано и коядро ${\displaystyle \varphi }$ (всё с точностью до ${\displaystyle p}$-компоненты, где ${\displaystyle p}$ – характеристика ${\displaystyle k}$). Результаты этих вычислений применяются в теории эллиптических поверхностей. В случае, когда ${\displaystyle k}$ – поле алгебраических чисел, структура группы ${\displaystyle {\text{Ш}}(A)}$ мало изучена.