Группа Матьё

Гру́ппа Матьё, конечная группа, изоморфная одной из пяти групп, открытых Э. Матьё (Mathieu. 1873^[1]). Серия групп Матьё состоит из групп, обозначаемых

${\displaystyle M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}}$;

они представимы как группы подстановок на множествах из 11, 12, 22, 23, 24 элементов соответственно. Группы ${\displaystyle M_{12}}$ и ${\displaystyle M_{24}}$ являются пятикратно транзитивными. ${\displaystyle M_{11}}$ реализуется естественным образом как стабилизатор в ${\displaystyle M_{12}}$ элемента множества, на котором действует ${\displaystyle M_{12}}$, ${\displaystyle M_{23}}$ – как стабилизатор элемента в ${\displaystyle M_{24}}$, ${\displaystyle M_{22}}$ – как стабилизатор элемента в ${\displaystyle M_{23}}$. Порядки групп Матьё равны соответственно

${\displaystyle 7\,920,95\,040,443\,520,10\,200\,960,244\,823\,040}$.

При рассмотрении группы Матьё часто пользуются (Witt. Die 5-fach... 1937^[2], Witt. Über Steinersche... 1937^[3]) представлением её в виде группы автоморфизмов соответствующей системы Штейнера ${\displaystyle S(l,m,n)}$, т. е. множества из ${\displaystyle n}$ элементов, в котором выделена система ${\displaystyle {\binom {l}{n}}/{\binom {c}{m}}}$ подмножеств, называемых блоками, состоящих из ${\displaystyle m}$ элементов множества, причём каждые ${\displaystyle l}$ элементов содержатся в одном и только в одном блоке. Автоморфизмом системы Штейнера называется подстановка множества её элементов, переводящая блок в блок. Группа ${\displaystyle M_{11}}$ является группой автоморфизмов системы Штейнера ${\displaystyle S(4,5,11)}$, группа ${\displaystyle M_{12}}$ – системы ${\displaystyle S(5,6,12)}$, группа ${\displaystyle M_{22}}$ – системы ${\displaystyle S(3,6,22)}$, группа ${\displaystyle M_{23}}$ – системы ${\displaystyle S(4,7,23)}$, группа ${\displaystyle M_{24}}$ – системы ${\displaystyle S(5,8,24)}$.

Группы Матьё были первыми (и на протяжении более 80 лет единственными) известными спорадическими конечными простыми группами.