Группа Судзуки

Гру́ппа Судзу́ки, простая конечная группа, член бесконечной серии простых групп ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$, открытых Судзуки Митио.

Пусть ${\displaystyle n}$ – натуральное число, ${\displaystyle F}$ – конечное поле из ${\displaystyle q=2^{2n+1}}$ элементов, ${\displaystyle \theta }$ – такой автоморфизм поля ${\displaystyle F}$, что ${\displaystyle \alpha ^{\theta ^{2}}=\alpha ^{2}}$ для любого ${\displaystyle \alpha \in F}$. Тогда группа Судзуки ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$ порождается подгруппой ${\displaystyle T}$, состоящей из всех диагональных матриц порядка 4 с диагональными элементами ${\displaystyle \lambda ^{1+\theta }}$, ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$, ${\displaystyle \left(\lambda ^{1+\theta }\right)^{-1}}$ (${\displaystyle \lambda \in F}$, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$), подгруппой ${\displaystyle U}$, состоящей из всех треугольных матриц вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\begin{array}{lrrr}1&0&0&0\\\alpha &1&0&0\\\alpha ^{1+\theta }+\beta &\alpha ^{\theta }&1&0\\\alpha ^{2+\theta }+\alpha \beta +\beta ^{\theta }&\beta &\alpha &1\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$

(${\displaystyle \alpha ,\beta \in F}$), и матрицей

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\begin{array}{llll}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$.

Подгруппа ${\displaystyle U}$ – силовская 2-подгруппа группы ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$; она является 2-группой Судзуки. Подгруппа ${\displaystyle UT}$ совпадает с нормализатором подгруппы ${\displaystyle U}$. Подстановочное представление группы ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$ на смежных классах по ${\displaystyle UT}$ дважды транзитивно; степень его равна ${\displaystyle q^{2}+1}$. Порядок группы Судзуки ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$ равен ${\displaystyle q^{2}(q-1)\left(q^{2}+1\right)}$ и не делится на 3. Наоборот, любая неабелева конечная простая группа, чей порядок не делится на 3, изоморфна некоторой группе Судзуки. Группа ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$ – максимальная подгруппа симплектической группы ${\displaystyle {Sp}(4,q)}$ и централизатор в ${\displaystyle {Sp}(4,q)}$ некоторого автоморфизма порядка 2 группы ${\displaystyle Sp(4,q)=B_{2}(q)}$. Иными словами, ${\displaystyle \operatorname {Sz} (q)}$ изоморфна ${\displaystyle {}^{2}B_{2}(q)}$ – скрещенному аналогу группы Шевалле типа ${\displaystyle B_{2}}$ над полем из ${\displaystyle q}$ элементов.