Группа монодромии

Гру́ппа монодро́мии обыкновенного линейного дифференциального уравнения или линейной системы уравнений, группа ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц, которая отвечает системе ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$ (*)

и определяется следующим образом. Пусть матрица ${\displaystyle A(t)}$ голоморфна в области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, точка ${\displaystyle t_{0}\in G}$ и ${\displaystyle X(t)}$ – фундаментальная матрица системы (*), заданная в малой окрестности ${\displaystyle t_{0}}$. Если ${\displaystyle \gamma \subset G}$ – замкнутая кривая с началом в точке ${\displaystyle t_{0}}$, то при аналитическом продолжении вдоль ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle X(t)\rightarrow X(t)C_{\gamma }}$, где ${\displaystyle C_{\gamma }}$ – постоянная ${\displaystyle (n\times n)}$-матрица. Если кривые ${\displaystyle \gamma _{1}}$, ${\displaystyle \gamma _{2}}$ гомотопны в ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle C_{\gamma _{1}}=C_{\gamma _{2}}}$; если ${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}}$, то ${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\gamma _{1}}C_{\gamma _{2}}}$. Отображение ${\displaystyle \gamma \rightarrow C_{\gamma }}$ есть гомоморфизм фундаментальной группы области ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \pi ^{1}\left(G,t_{0}\right)\rightarrow \mathrm {GL} (n,C),}$

где ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,C)}$ – группа ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц с комплексными элементами; образ этого гомоморфизма называется группой монодромии ${\displaystyle M\left(t_{0},G\right)}$ системы (*). При этом

${\displaystyle M\left(t_{1},G\right)=T^{-1}M\left(t_{0},G\right)T,}$

где ${\displaystyle T}$ – постоянная матрица. Группа монодромии вычислена для уравнений Эйлера, Папперица (Голубев. 1950^[1]; Айнс. 1939^[2]).