Дискретное семейство множеств

Дискре́тное семе́йство мно́жеств, семейство подмножеств топологического пространства такое, что каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся самое большее с одним элементом этого семейства. Более точно, индексированное семейство подмножеств ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется дискретным в нём, если у каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U}$, что множество ${\displaystyle \left\{s\in S:U\cap A_{s}\neq \varnothing \right\}}$ состоит не более чем из одного элемента.

Для произвольного семейства ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A_{s}\}_{s\in S}}$ подмножеств топологического пространства пусть ${\displaystyle {\overline {\mathcal {A}}}}$ обозначает семейство, состоящее из замыканий его элементов, т. е. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {A}}}=\{{\overline {A_{s}}}\}_{s\in S}}$. Следующие условия равносильны:

(i) семейство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ дискретно;

(ii) семейство ${\displaystyle {\overline {\mathcal {A}}}}$ дискретно;

(iii) семейство ${\displaystyle {\overline {\mathcal {A}}}}$ консервативно и состоит из попарно непересекающихся множеств (т. е. ${\displaystyle {\overline {A_{s}}}\cap {\overline {A_{t}}}=\varnothing }$ для любых различных ${\displaystyle s,t\in S}$).

Понятие дискретного семейства, важное при изучении свойств типа паракомпактности, было введено Р. Г. Бингом (Bing. 1951^[1]) посредством условия (iii) выше.