Дифференциальное уравнение Римана

Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана (уравнение Папперица), линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной плоскости, имеющее три заданные регулярные особые точки ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ с соответствующими характеристическими показателями ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \alpha ^{\prime }}$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \beta ^{\prime }}$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \gamma ^{\prime }}$ в этих точках. Общий вид такого уравнения впервые выписал Э. Паппериц (Е. Рapperitz), из-за чего оно также называется уравнением Папперица. Решения дифференциального уравнения Римана записываются в виде т. н. ${\displaystyle {\text{Р}}}$ – функции Pимана

${\displaystyle w=P{\begin{Bmatrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha ^{\prime }&\beta ^{\prime }&\gamma ^{\prime }&\\\end{Bmatrix}}}$.

Дифференциальное уравнение Римана принадлежит классу уравнений Фукса с тремя особыми точками. Частным случаем дифференциального уравнения Римана является гипергеометрическое уравнение (особые точки: ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \infty }$); поэтому само дифференциальное уравнение Римана иногда называется обобщённым гипергеометрическим уравнением. Дифференциальное уравнение Римана приводится к уравнению Похгаммера, а потому решение дифференциального уравнения Римана можно записать в виде интеграла по специальному контуру в комплексной плоскости.