Дифференциальный параметр Шварца

Дифференциа́льный пара́метр Шва́рца (производная Шварца, шварциан) аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$, дифференциальное выражение

${\displaystyle \{f,z\}={\frac {f^{\prime \prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}}\right)^{2}=\left({\frac {f^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}}\right)^{\prime }-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}}\right)^{2}}$,

появившееся при исследовании конформного отображения многоугольников на круг, в частности в работах Г. Шварца (Schwarz. 1890^[1]).

Важнейшее свойство дифференциального параметра Шварца – его инвариантность относительно дробно-линейного преобразования функции ${\displaystyle f(z)}$, т. е. если

${\displaystyle g(z)={\frac {af(z)+b}{cf(z)+d}}}$,

то ${\displaystyle \left\{f,z\}=\{g,z\right\}}$. Применения дифференциального параметра Шварца связаны прежде всего с вопросами однолистности аналитических функций. Например, если ${\displaystyle f(z)}$ – однолистная аналитическая функция в круге ${\displaystyle D=\{z:\mid z\mid <1\}}$, причём ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle f^{\prime }(0)=1}$, то

${\displaystyle \mid \{f,z\}\mid \leqslant {\frac {6}{\left(1-\mid z\mid ^{2}\right)^{2}}},\quad \mid z\mid <1}$.

Обратно, если ${\displaystyle f(z)}$ регулярна в ${\displaystyle D}$ и

${\displaystyle \mid \{f,z\}\mid \leqslant {\frac {2}{\left(1-\mid z\mid ^{2}\right)^{2}}},\quad \mid z\mid <1}$,

то ${\displaystyle f(z)}$ – однолистная функция в ${\displaystyle D}$ и константу 2 здесь нельзя увеличить.