Дифференциал Фреше

Дифференциа́л Фреше́ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ отображения ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ нормированного пространства ${\displaystyle X}$ в нормированное пространство ${\displaystyle Y}$, отображение ${\displaystyle h\longrightarrow D\left(x_{0},h\right)}$, являющееся линейным и непрерывным отображением из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ и обладающее тем свойством, что

${\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+D\left(x_{0},h\right)+\varepsilon (h),}$ (1)

где

${\displaystyle \lim _{\|h\|\rightarrow 0}\|\varepsilon (h)\|/\|h\|=0}$.

Если отображение ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ допускает разложение (1), то оно называется дифференцируемым по Фpeшe, а сам оператор

${\displaystyle f^{\prime }\left(x_{0}\right)h=D\left(x_{0},h\right),\quad f^{\prime }\left(x_{0}\right)\in L(X,Y),}$

называется производной Фреше.

Для функции ${\displaystyle f}$ конечного числа переменных дифференциала Фреше – линейная функция

${\displaystyle h\rightarrow \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}h_{i}=l_{x_{0}}h,}$

обладающая тем свойством, что

${\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+l_{x_{0}}(h)+o(|h|),}$ (2)

где ${\displaystyle |h|=\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}^{2}\right)^{1/2}}$ или любая другая равносильная норма в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. При этом ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\partial f\left(x_{0}\right)}{\partial x_{i}}}}$ – частные производные функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Определение (2), являющееся ныне общепринятым, впервые в явной форме появилось, по-видимому, в лекциях К. Вейерштрасса (1861, см. Dugас. 1972^[1]). В конце 19 в. это определение постепенно входит в учебники (см. Stоlz. 1893^[2]; Young. 1910^[3] и др.). Однако к моменту, когда М. Фреше (см. Fréchet. 1911; 1912) начал разработку бесконечномерного анализа, классическое ныне определение дифференциала было настолько необщепринятым, что и сам М. Фреше полагал, что определённый им дифференциал на бесконечномерном пространстве является новым понятием и в конечномерном случае. В настоящее время термин употребляется лишь при рассмотрении бесконечномерных отображений. См. в статьях Дифференциал Гато, Дифференцирование отображения.