Закон инерции квадратичных форм

Зако́н ине́рции квадрати́чных форм, теорема, утверждающая, что при любом способе приведения квадратичной формы

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{s}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

с действительными коэффициентами к сумме квадратов

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}b_{i}y_{i}^{2}}$

посредством линейной замены переменных

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{s})=(y_{1},\ldots ,y_{s})Q,}$

где ${\displaystyle Q}$ – невырожденная матрица с действительными коэффициентами, число ${\displaystyle p}$ (соответственно ${\displaystyle n}$) таких индексов ${\displaystyle i}$, что ${\displaystyle b_{i}>0}$ (соответственно ${\displaystyle b_{i}<0}$), остаётся неизменным. В этой классической форме закон инерции квадратичных форм установлен Дж. Дж. Сильвестром. Это утверждение иногда называют также теоремой Сильвестра.

В современной форме закон инерции квадратичных форм – это следующее утверждение о свойствах симметрических билинейных форм над упорядоченными полями. Пусть ${\displaystyle E}$ – конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем ${\displaystyle k}$, снабжённое невырожденной симметрической билинейной формой ${\displaystyle f}$. Тогда существует такое целое число ${\displaystyle p\geqslant 0}$, что для любого ортогонального относительно ${\displaystyle f}$ базиса ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s}}$ в ${\displaystyle E}$ среди ${\displaystyle s}$ элементов

${\displaystyle f(e_{i},e_{i}),\quad i=1,\ldots ,s,}$

имеется в точности ${\displaystyle p}$ положительных и в точности ${\displaystyle n=s-p}$ отрицательных. Пара ${\displaystyle (p,n)}$ называется сигнатурой билинейной формы ${\displaystyle f}$, а число ${\displaystyle n}$ – её индексом инерции. Две эквивалентные формы имеют одинаковую сигнатуру. Если ${\displaystyle k}$ – евклидово поле, то равенство сигнатур является достаточным условием для эквивалентности билинейных форм. Если индекс инерции ${\displaystyle n=0}$, форма называется положительно определённой, а при ${\displaystyle p=0}$ – отрицательно определённой. Эти случаи характеризуются тем, что ${\displaystyle f(x,x)>0}$ (соответственно, ${\displaystyle f(x,x)<0}$) для любого ненулевого вектора ${\displaystyle x\in E}$. Из закона инерции вытекает, что ${\displaystyle E}$ есть ортогональная относительно ${\displaystyle f}$ прямая сумма подпространств

${\displaystyle E=E_{+}\oplus E_{-},}$

таких, что сужение ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E_{+}}$ является положительно определённой, а сужение ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E_{-}}$ – отрицательно определённой билинейной формой и

${\displaystyle \dim E_{+}=p,\quad \dim E_{-}=n}$

(так что размерности пространств ${\displaystyle E_{+}}$ и ${\displaystyle E_{-}}$ не зависят от способа разложения).

Иногда сигнатурой формы f называют разность

${\displaystyle \sigma (f)=p-n}$.

Если формы ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ определяют один и тот же элемент кольца Витта ${\displaystyle W(k)}$ поля ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle \sigma (f)=\sigma (g)}$. Более того, ${\displaystyle \sigma (f_{1}\oplus f_{2})=\sigma (f_{1})+\sigma (f_{2})}$, ${\displaystyle \sigma (f_{1}\otimes f_{2})=\sigma (f_{1})\sigma (f_{2})}$ для любых невырожденных форм ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ и ${\displaystyle \sigma (\langle 1\rangle )=1}$, так что отображение ${\displaystyle f\mapsto \sigma (f)}$ определяет гомоморфизм кольца ${\displaystyle W(k)}$ в кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Если ${\displaystyle k}$ – евклидово поле, то этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Закон инерции обобщается на случай эрмитовой билинейной формы над максимальным упорядоченным полем ${\displaystyle k}$, над квадратичным расширением ${\displaystyle k}$ или над телом кватернионов над ${\displaystyle k}$ (см. Бурбаки. 1966^[1], Milnor. 1973^[2]).