Звезда множества

Звезда́ мно́жества, теоретико-множественное понятие. Пусть даны множество ${\displaystyle X}$, его покрытие ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (т. е. семейство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$, для которого ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {A}}=X}$) и множество ${\displaystyle M\subset X}$. Звездой ${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})}$ множества ${\displaystyle M}$ относительно покрытия ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ называется объединение всех элементов покрытия ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, пересекающихся с ${\displaystyle M}$, т. е. множество

${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})=\bigcup \{A\in {\mathcal {A}}:A\cap M\neq \varnothing \}}$ (*).

Для произвольных множеств ${\displaystyle M,N\subset X}$:
а) условия ${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})\cap N=\varnothing }$ и ${\displaystyle M\cap \mathrm {St} (N,{\mathcal {A}})=\varnothing }$ равносильны;
б) условия ${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})\subset N}$ и ${\displaystyle \mathrm {St} (X\setminus N,{\mathcal {A}})\subset X\setminus M}$ равносильны.

Для каждого целого ${\displaystyle n\geqslant 0}$ по индукции определяется ${\displaystyle n}$-кратная звезда (или звезда порядка ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathrm {St} ^{n}(M,{\mathcal {A}})}$ множества ${\displaystyle M}$ относительно покрытия ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$:

${\displaystyle \mathrm {St} ^{0}(M,{\mathcal {A}})=M;}$
${\displaystyle mathrm{St}^{n+1}(M,{\mathcal {A}})=\mathrm {St} {\bigl (}\mathrm {St} ^{n}(M,{\mathcal {A}}),{\mathcal {A}}{\bigr )},\quad n=0,1,2,\ldots .}$

Звезда одноэлементного множества ${\displaystyle M=\{x\}}$ также называется звездой элемента ${\displaystyle x}$ и, если это не приводит к неоднозначности, обозначается через ${\displaystyle \mathrm {St} (x,{\mathcal {A}})}$; таким образом,

${\displaystyle \mathrm {St} (x,{\mathcal {A}})=\bigcup \{A\in {\mathcal {A}}:x\in A\}}$,

и для любого ${\displaystyle M\subset X}$

${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})=\bigcup _{x\in M}\mathrm {St} (x,{\mathcal {A}})}$.

Для ${\displaystyle x,y\in X}$ следующие условия равносильны:
а) ${\displaystyle x\in \mathrm {St} (y,{\mathcal {A}})}$;
б) ${\displaystyle y\in \mathrm {St} (x,{\mathcal {A}})}$;
в) оба элемента ${\displaystyle x,y}$ принадлежат некоторому ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Звезда ${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})}$ также обозначается через ${\displaystyle \mathrm {st} (M,{\mathcal {A}})}$, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {St} } _{\mathcal {A}}M}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}\langle M\rangle }$; аналогично может обозначаться звезда ${\displaystyle \mathrm {St} (x,{\mathcal {A}})}$.

Понятие звезды множества играет фундаментальную роль в общей топологии, особенно при изучении свойств типа паракомпактности и метризуемости. Если ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – его покрытие и ${\displaystyle x\in X}$, то множество ${\displaystyle \mathrm {St} (x,{\mathcal {A}})}$ называют звездой точки ${\displaystyle x}$ относительно ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – открытое покрытие топологического пространства ${\displaystyle X}$, то для любого ${\displaystyle M\subset X}$ множество ${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})}$ открыто и

${\displaystyle \mathrm {St} (M,{\mathcal {A}})=\mathrm {St} ({\overline {M}},{\mathcal {A}})}$,

где ${\displaystyle {\overline {M}}}$ – замыкание множества ${\displaystyle M}$.

Иногда в определении (*) не требуют выполнения условия ${\displaystyle M\subset \bigcup {\mathcal {A}}}$, т. е. звезду множества ${\displaystyle M}$ определяют относительно произвольного (необязательно покрывающего ${\displaystyle M}$) семейства множеств ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$; однако в общетопологических приложениях наиболее важны именно звёзды множеств относительно покрытий.

Определение звезды множества (в том числе ${\displaystyle n}$-кратной) относительно покрытия принадлежит Дж. Тьюки, который впервые систематически применил это понятие для исследования отношений вписанности покрытий топологических и равномерных пространств (Tukey. 1940^[1]).