Идеальный ряд полугруппы

Идеа́льный ряд полугру́ппы ${\displaystyle S}$, такая последовательность подполугрупп

${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \dots \subset A_{m}=S,}$ (*)

что ${\displaystyle A_{i}}$ есть (двусторонний) идеал в ${\displaystyle A_{i+1}}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,m-1}$. Подполугруппа ${\displaystyle A_{1}}$ и факторполугруппы Риса ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ называются факторами ряда (*). Два идеальных ряда называются изоморфными, если между их факторами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы изоморфны. Идеальный ряд

${\displaystyle B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{n}=S}$

называется уплотнением ряда (*), если каждое ${\displaystyle A_{i}}$ совпадает с некоторым ${\displaystyle B_{j}}$. Идеальный ряд называется композиционным рядом, если он не обладает отличными от него самого уплотнениями. Для любых двух идеальных рядов полугруппы существуют изоморфные уплотнения; в частности, в полугруппе, обладающей композиционным рядом, все такие ряды изоморфны (аналоги теорем Шрейера и Жордана – Гёльдера о нормальных рядах групп, см. Курош. 1967^[1]; Клиффорд. 1972^[2]). Идеальный ряд называется главным рядом, если его члены суть идеалы всей полугруппы и он не обладает отличными от него самого уплотнениями, состоящими из идеалов полугруппы. Если полугруппа обладает композиционным рядом, то она имеет и главный ряд; обратное неверно. В полугруппе ${\displaystyle S}$ с главным рядом факторы его изоморфны главным факторам ${\displaystyle S}$.

Как и для нормальных рядов групп, приведённые понятия (и их свойства) естественным образом обобщаются на случай бесконечных систем вложенных подполугрупп. В частности, возрастающий идеальный ряд полугруппы ${\displaystyle S}$ – это вполне упорядоченная последовательность

${\displaystyle A_{1}\subset \dots \subset A_{\alpha }\subset A_{\alpha +1}\subset \dots \subset A_{\beta }=S}$,

где на предельных местах стоят объединения предыдущих членов и ${\displaystyle A_{\alpha }}$ есть идеал в ${\displaystyle A_{\alpha +1}}$ для любого ${\displaystyle \alpha <\beta }$.