Инвариант Хопфа

Инвариа́нт Хо́пфа, инвариант гомотопического класса отображений топологических пространств. Впервые был определен Х. Хопфом для отображений сфер ${\displaystyle f:S^{2n-1}\longrightarrow S^{n}}$.

Пусть ${\displaystyle f:S^{2n-1}\longrightarrow S^{n}}$ – непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение симплициальным относительно некоторых триангуляций сфер ${\displaystyle S^{n}}$ и ${\displaystyle S^{2n-1}}$. Тогда инвариант Xопфа определяется как коэффициент зацепления ${\displaystyle (n-1)}$-мерных непересекающихся подмногообразий ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ и ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ в ${\displaystyle S^{2n-1}}$ для любых различных ${\displaystyle a,b\in S^{n}}$.

Отображение ${\displaystyle f:S^{2n-1}\longrightarrow S^{n}}$ определяет элемент ${\displaystyle [f]\in \pi _{2n-1}(S^{n})}$, и образ элемента ${\displaystyle [f]}$ при гомоморфизме

${\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})=\pi _{2n-2}(\Omega S^{n}){\stackrel {h}{\longrightarrow }}H_{2n-2}(\Omega S^{n})=\mathbb {Z} }$

совпадает с инвариантом Хопфа ${\displaystyle H(f)}$ (здесь ${\displaystyle h}$ – гомоморфизм Гуревича (^[1])).

Пусть теперь ${\displaystyle f:S^{2n-1}\longrightarrow S^{n}}$ – отображение класса ${\displaystyle C^{2}}$, и форма ${\displaystyle \Omega \in \Lambda ^{n}S^{n}}$ представляет образующую группы целочисленных когомологий ${\displaystyle H^{n}(S^{n},\mathbb {Z} )}$. В качестве такой формы можно взять, например, форму ${\displaystyle \Omega ={dV}/{\operatorname {vol} (S^{n})}}$, где ${\displaystyle dV}$ – элемент объёма на ${\displaystyle S^{n}}$ в некоторой метрике (например, в метрике, заданной вложением ${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$), а ${\displaystyle \operatorname {vol} \left(S^{n}\right)}$ – объём сферы ${\displaystyle S^{n}}$. Тогда форма ${\displaystyle f^{*}(\Omega )\in \Lambda ^{n}S^{2n-1}}$ замкнута и, ввиду тривиальности группы ${\displaystyle H^{n}(S^{2n-1},\mathbb {Z} )}$, является точной. Таким образом, ${\displaystyle f^{*}(\Omega )=d\theta }$ для некоторой формы ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{n-1}S^{2n-1}}$. Имеет место формула для вычисления инварианта Хопфа (см. ^[2]):

${\displaystyle H(f)=\int _{S^{2n-1}}\theta \wedge d\theta }$.

Определение инварианта Хопфа обобщено на случай отображений ${\displaystyle f:S^{m}\longrightarrow S^{n}}$ при ${\displaystyle m\leqslant 4n-4}$. В этом случае имеется разложение

${\displaystyle \pi _{m}\left(S^{n}\vee S^{n}\right)=\pi _{m}\left(S^{n}\right)\bigoplus \pi _{m}\left(S^{n}\right)\bigoplus \pi _{m}\left(S^{2n-1}\right)\bigoplus \operatorname {ker} k_{*},\quad (*)}$

где

${\displaystyle k_{*}:\pi _{m+1}\left(S^{n}\times S^{n},S^{n}\vee S^{n}\right)\rightarrow \pi _{m+1}\left(S^{2n}\right)}$

– гомоморфизм, индуцированный проекцией ${\displaystyle k:(S^{n}\times S^{n},S^{n}\vee S^{n})\longrightarrow (S^{n},pt)}$. Пусть дано отображение ${\displaystyle g:S^{n}\longrightarrow S^{n}\vee S^{n}}$, заданное стягиванием экватора сферы ${\displaystyle S^{n}}$в точку. Тогда инвариант Хопфа называется гомоморфизм

${\displaystyle H:\pi _{m}\left(S^{n}\right)\longrightarrow \pi _{m}\left(S^{2n-1}\right)}$,

при котором ${\displaystyle [f]\in \pi _{m}(S^{n})}$ преобразуется в проекцию элемента ${\displaystyle [g\circ f]\in \pi _{m}(S^{n}\vee S^{n})}$ на прямое слагаемое ${\displaystyle \pi _{m}(S^{2n-1})}$ в разложении (${\displaystyle *}$). При ${\displaystyle m=2n-1}$, ввиду равенства ${\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{2n-1})=\mathbb {Z} }$, получается обычный инвариант Хопфа. Обобщённым инвариантом Хопфа называется композиция ${\displaystyle H^{*}}$ гомоморфизмов

${\displaystyle \pi _{m}\left(S^{n}\right){\stackrel {g_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{m}\left(S^{n}\vee S^{n}\right){\stackrel {p}{\longrightarrow }}\pi _{m+1}\left(S^{n}\times S^{n},S^{n}\vee S^{n}\right){\stackrel {k_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{m+1}\left(S^{2n}\right)}$,

где ${\displaystyle p}$ – проекция группы ${\displaystyle \pi _{m}(S^{n}\vee S^{n})}$ на прямое слагаемое ${\displaystyle \pi _{m+1}(S^{n}\times S^{n},S^{n}\vee S^{n})}$, a гомоморфизмы ${\displaystyle g_{*}}$ и ${\displaystyle k_{*}}$ описаны вышe. При ${\displaystyle m\leqslant 4n-4}$ инварианты Хопфа – Уайтхеда ${\displaystyle H}$ и Хопфа – Хилтона ${\displaystyle H^{*}}$ связаны соотношением ${\displaystyle H^{*}=S\circ H}$, где ${\displaystyle S:\pi _{m}(S^{2n-1})\longrightarrow \pi _{m+1}(S^{2n})}$ – гомоморфизм надстройки (см. ^[3]).

Пусть дано отображение ${\displaystyle f:S^{2n-1}\longrightarrow S^{n}}$, и ${\displaystyle C_{f}}$ – его цилиндр. Тогда когомологии ${\displaystyle H^{*}\left(C_{f},S^{2n-1}\right)}$ имеют однородным ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-базисом пару ${\displaystyle \left\{a,b\right\}}$ с ${\displaystyle \operatorname {dim} a=n}$ и ${\displaystyle \operatorname {dim} b=2n}$. Имеет место соотношение ${\displaystyle a^{2}=H(f)b}$ (см. ^[4]). Если ${\displaystyle n}$ нечётно, то (в силу косокоммутативности умножения в когомологиях) ${\displaystyle H(f)=0}$.

Имеется (см. Адамс Д. 1968) обобщение инварианта Хопфа – Стинрода через обобщённые теории когомологий. Пусть ${\displaystyle k}$ – полуточный гомотопический функтор в смысле Дольда (см. Дольд А. 1970), заданный на категории конечных ${\displaystyle CW}$-комплексов и принимающий значения в некоторой абелевой категории ${\displaystyle A}$. Тогда отображение комплексов ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ определяет элемент ${\displaystyle f^{*}=d(f)\in \operatorname {Hom} (k(Y),k(X))}$, где ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$ – множество морфизмов в ${\displaystyle A}$. Инвариант Хопфа – Адамса ${\displaystyle e(f)}$ определен, когда ${\displaystyle f^{*}=0}$ и ${\displaystyle d(Sf)=0}$, где ${\displaystyle Sf:SX\longrightarrow SY}$ – соответствующее отображение надстроек. В этом случае последовательности корасслоений

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\rightarrow }}Y{\stackrel {i}{\longrightarrow }}Y\cup _{f}CX{\stackrel {j}{\rightarrow }}SX{\stackrel {-Sf}{\longrightarrow }}SY}$

соответствует точная последовательность в ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle 0\leftarrow k(X){\stackrel {i_{*}}{\longleftarrow }}k\left(Y\cup _{f}CX\right){\stackrel {j_{*}}{\longleftarrow }}k(SX)\leftarrow 0}$,

которая и определяет инвариант Хопфа – Адамса – Стинрода ${\displaystyle e(f)=\mathrm {Ext} ^{1}(k(Y),k(X))}$.

В случае функтора ${\displaystyle k=H^{*}(-;\mathbb {Z} _{2})}$, принимающего значения в категории модулей над алгеброй Стинрода по модулю 2, получается инвариант Хопфа – Стинрода ${\displaystyle H_{2}(f)\in \mathbb {Z} }$ отображения ${\displaystyle f:S^{m}\longrightarrow S^{n}}$ при ${\displaystyle m>n}$. Когомологии ${\displaystyle H^{*}(C_{f},S^{m};\mathbb {Z} _{2})}$ имеют ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-базисом пару ${\displaystyle \left\{a,b\right\}}$ с ${\displaystyle \operatorname {dim} a=n}$ и ${\displaystyle \operatorname {dim} b=m+1}$, и тогда

${\displaystyle Sq^{m-n+1}a=H_{2}(f)b}$.

Инвариантом Хопфа ${\displaystyle H_{p}}$ по модулю ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle p}$ – простое) называется композиция отображений

${\displaystyle \pi _{2pn}\left(S^{2n+1}\right)_{(p)}{\stackrel {\approx }{\rightarrow }}\pi _{2pn-2}\left(\Omega ^{2}S^{2n+1}\right)p}$
${\displaystyle \rightarrow \pi _{2pn-2}\left(\Omega ^{2}S^{2n+1},S^{2n-1}\right)_{(p)}\rightarrow }$
${\displaystyle \rightarrow H_{2pn-2}\left(\Omega ^{2}S^{2n+1},S^{2n-1}\right)_{(p)}=\mathbb {Z} /p}$

где ${\displaystyle (X,Y)_{p}}$ – локализация по ${\displaystyle p}$ пары пространств (см. ^[5]). Пусть

${\displaystyle S:\pi _{4n-1}\left(S^{2n}\right)\rightarrow \pi _{4n}\left(S^{2n+1}\right)}$

– гомоморфизм надстройки. Тогда ${\displaystyle H_{2}(Sf)=H_{2}(f)}$ (см. ^[6]). Инвариант Хопфа ${\displaystyle H(f)}$ можно определить и в терминах чисел Штифеля (см. ^[7]): если ${\displaystyle M^{n-1}}$ – замкнутое оснащённое многообразие и ${\displaystyle M^{n-1}=\partial V}$, то характеристическое число Штифеля – Уитни ${\displaystyle w_{n}(\nu )[V,M]}$ нормального расслоения ${\displaystyle \nu }$ совпадает с инвариантом Хопфа ${\displaystyle H_{2}(f)}$ отображения ${\displaystyle f:S^{n+r-1}\longrightarrow S^{r}}$, представляющего класс оснащённых кобордизмов многообразия ${\displaystyle M^{n-1}}$.

Спектральная последовательность Адамса – Новикова позволяет построить высшие инварианты Хопфа. А именно, индуктивно определены инварианты ${\displaystyle q_{i}:\operatorname {ker} q_{i-1}\longrightarrow E_{\infty }^{i,*}}$ и ${\displaystyle q_{0}:\pi _{*}^{S}\longrightarrow E_{\infty }^{0,*}}$ (см. Новиков С. П. 1967). Из вида дифференциалов этой спектральной последовательности следует, что

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{i}(\Omega _{U},\Omega _{U})\supset E_{\infty }^{i,*},\quad i=0,1,2,3}$

(${\displaystyle \Omega _{U}}$ — кольцо комплексных кобордизмов точки), и потому при ${\displaystyle i=0,1,2,3}$ инварианты ${\displaystyle q_{i}}$ лежат в ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{i},_{U}^{*}(\Omega _{U},\Omega _{U})}$и называются инвариантами Хопфа – Новикова. При ${\displaystyle i=1}$ получается инвариант Адамса.

Значения, которые может принимать инвариант Хопфа, не являются произвольными. Например, для отображения ${\displaystyle f:S^{4n+1}\longrightarrow S^{2n+1}}$ инвариант Хопфа всегда равен нулю. Инвариант Хопфа по модулю ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{(p)}:\pi _{2mp}(S^{2m+1})\longrightarrow \mathbb {Z} _{2}}$ тривиален, за исключением случаев: ${\displaystyle p=2}$, ${\displaystyle m=1,2,4}$ и ${\displaystyle p>2}$, ${\displaystyle m=1}$. С другой стороны, для любого четного числа ${\displaystyle k}$ существует отображение ${\displaystyle f:S^{4n-1}\longrightarrow S^{2n}}$ с инвариантом Хопфа, равным ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle n}$ — любое). При ${\displaystyle n=1,2,4}$ существуют отображения ${\displaystyle f:S^{4n-1}\longrightarrow S^{2n}}$ c инвариантом Хопфа, равным 1.