Индекс в теории чисел

И́ндекс в теории чисел, число, играющее при решении сравнений роль, аналогичную роли логарифмов при решении показательных уравнений; обозначается ${\displaystyle \operatorname {ind} }$. Если ${\displaystyle p}$ – нечётное простое число, ${\displaystyle g}$ – первообразный корень по модулю ${\displaystyle p}$, то индексом числа ${\displaystyle a}$ называется такое число ${\displaystyle k={\text{ind}}\,a}$, что ${\displaystyle a\equiv g^{k}({\bmod {\,}}p)}$. Индекс обладает свойствами

${\displaystyle {\text{ind}}\,(ab)={\text{ind}}\,a+{\text{ind}}\,b\,({\bmod {(}}p-1)),}$
${\displaystyle text{ind}\,{\frac {a}{b}}={\text{ind}}\,a-{\text{ind}}\,b({\bmod {(}}p-1)),}$

где ${\displaystyle a/b}$ понимается как корень сравнения ${\displaystyle bx\equiv a({\bmod {\,}}p)}$. При решении двучленных уравнений ${\displaystyle ax^{n}\equiv b({\bmod {\,}}p)}$ индексы используют для перехода к линейным сравнениям ${\displaystyle {\text{ind}}\,a+n\,{\text{ind}}\,x\equiv {\text{ind}}\,b({\bmod {(}}p-1))}$. Ввиду практической пользы индекса, для каждого простого модуля ${\displaystyle p}$ (не слишком большого) имеются специальные таблицы. Понятие «индекс» утвердилось в теории чисел после работ К. Гаусса в нач. 19 в.