Интерполяционная формула Стеффенсена

Интерполяцио́нная фо́рмула Сте́ффенсена, форма записи интерполяционного многочлена, получающегося из интерполяционной формулы Стирлинга по узлам ${\displaystyle x_{0},x_{0}+h,x_{0}-h,\dots ,x_{0}+nh,x_{0}-nh}$ в точке ${\displaystyle x=x_{0}+th}$:

${\displaystyle L_{2n}(x_{0}+th)=\ f_{0}+tf_{0}^{'}+{\frac {t^{2}}{2!}}\;f_{0}^{(2)}+\dots +}$

${\displaystyle +\;{\frac {t(t^{2}-1)\cdot _{\dots }\cdot [t^{2}-(n-1)^{2}]}{(2n-1)!}}\;f_{0}^{(2n-1)}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\cdot _{\dots }\cdot [t^{2}-(n-1)^{2}]}{(2n)!}}\;f_{0}^{(2n)}}$,

с помощью соотношений

${\displaystyle f_{0}^{(2k-1)}={\frac {1}{2}}\;\left(f_{{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{(2k-1)}+f_{-{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{(2k-1)}\right),\quad f_{0}^{(2k)}=f_{{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{(2k-1)}-f_{-{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{(2k-1)}}$.

После приведения подобных членов интерполяционная формула Стеффенсена записывается в виде

${\displaystyle L_{2n}(x)=L_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+{\frac {t(t+1)}{2!}}\;f_{{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{'}-{\frac {t(t-1)}{2!}}\;f_{{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{'}+\dots }$

${\displaystyle \dots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdot _{\dots }\cdot [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n)}{(2n)!}}\;f_{{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{(2n-1)}-}$

${\displaystyle -{\frac {t(t^{2}-1)\cdot _{\dots }\cdot [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n)}{(2n)!}}\;f_{-{^{1}}\!/\!{_{2}}}^{(2n-1)}}$.