Коническая конструкция

Кони́ческая констру́кция, сопоставление с каждым непрерывным отображением топологических пространств ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ топологического пространства ${\displaystyle C_{f}\supset Y}$, которое получается из топологической суммы (несвязного объединения) ${\displaystyle CX\bigoplus Y}$ [здесь ${\displaystyle CX=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})}$ – конус над ${\displaystyle X}$] отождествлением ${\displaystyle x\times \{1\}=f(x)}$, ${\displaystyle x\in X}$. Пространство ${\displaystyle C_{f}}$ называется конусом отображения ${\displaystyle f}$. Если пространства ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ пунктированы отмеченными точками ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle y\in Y}$, то дополнительно стягивается в точку образующая ${\displaystyle x\times [0,1]}$ конуса ${\displaystyle CX}$ и само ${\displaystyle C_{f}}$ называется стянутым конусом отображения ${\displaystyle f}$. Для любого пунктированного топологического пространства ${\displaystyle K}$ последовательность ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\rightarrow }}Y\subset C_{f}}$ индуцирует точную последовательность

${\displaystyle [X,K]\longleftarrow [Y,K]\longleftarrow \left[C_{f},K\right]}$

пунктированных множеств. Отображение ${\displaystyle f}$ гомотопно постоянному отображению в отмеченную точку тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Y}$ является ретрактом пространства ${\displaystyle C_{f}}$.