Метод пополнения

Ме́тод пополне́ния, метод вычисления обратной матрицы, основанный на рекуррентном переходе, использующем вычисление матрицы ${\displaystyle (C+uv)^{-1}}$, где ${\displaystyle u}$ – вектор-столбец, ${\displaystyle v}$ – вектор-строка, по формуле

${\displaystyle (C+uv)^{-1}=C^{-1}-{\frac {1}{\gamma }}C^{-1}uvC^{-1},\quad \gamma =1+vC^{-1}u}$.

Вычислительная схема метода такова. Пусть ${\displaystyle A=\left\|a_{ij}\right\|}$ – данная матрица ${\displaystyle n}$-го порядка. Рассматривается последовательность ${\displaystyle A_{0}=E,A_{1},\ldots ,A_{n}}$, где ${\displaystyle A_{k}=A_{k-1}+e_{k}a_{k}}$, ${\displaystyle e_{k}}$ есть ${\displaystyle k}$-й столбец единичной матрицы ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle a_{k}=\left(a_{k1},\ldots ,a_{k,k-1},a_{k,k-1},a_{k,k+1},\ldots ,a_{kn}\right)}$.

Тогда ${\displaystyle A_{n}=A}$ и матрица ${\displaystyle A^{-1}}$ получается в результате ${\displaystyle n}$-кратного применения описанного выше процесса. Расчётные формулы при этом имеют следующий вид: если ${\displaystyle a_{j}^{(k)}}$ есть ${\displaystyle j}$-й столбец ${\displaystyle A_{k}}$, то для ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$:

${\displaystyle a_{j}^{(k)}=a_{j}^{(k-1)}-{\frac {a_{k}a_{j}^{(k-1)}}{1+a_{k}a_{k}^{(k-1)}}}a_{k}^{(k-1)},\quad j=1,2,\ldots ,n.}$ (*)

Для матрицы${\displaystyle A_{k}^{-1}}$ достаточно вычислять элементы первых ${\displaystyle k}$ строк, т. к. последующие строки совпадают со строками единичной матрицы.

Известны другие способы организации вычислений в методе пополнения, основанные на модификации (*), например т. н. метод Ершова (Фаддеев. 2002^[1]).