Трубчатая окрестность

Тру́бчатая окре́стность, окрестность гладкого подмногообразия ${\displaystyle N}$ в гладком многообразии ${\displaystyle M}$, расслаивающаяся над ${\displaystyle N}$ со слоем ${\displaystyle \mathrm {R} ^{d}}$, где

${\displaystyle d=\operatorname {dim} M-\operatorname {dim} N}$.

Пусть в ${\displaystyle M}$ выбрана риманова метрика и рассматриваются начинающиеся в ${\displaystyle N}$ отрезки нормальных к ${\displaystyle N}$ геодезических. Если ${\displaystyle N}$ компактно, то найдётся такое ${\displaystyle \varepsilon >0}$, что никакие два отрезка длины ${\displaystyle \leqslant \varepsilon }$, исходящие из разных точек ${\displaystyle N}$, не пересекаются. Объединение всех таких отрезков длины ${\displaystyle <\varepsilon }$ является открытой окрестностью ${\displaystyle U}$ подмногообразия ${\displaystyle N}$ и называется его трубчатой окрестностью. Для некомпактного ${\displaystyle N}$ можно строить трубчатую окрестность, покрыв ${\displaystyle N}$ счётным множеством компактов и уменьшая ${\displaystyle \varepsilon }$ с ростом номера элемента покрытия. Имеется деформационная ретракция ${\displaystyle r:U\rightarrow N}$, сопоставляющая каждой точке из ${\displaystyle U}$ начало геодезической, содержащей эту точку. Эта ретракция задаёт векторное расслоение со слоем ${\displaystyle \mathrm {R} ^{d}}$, изоморфное нормальному расслоению ${\displaystyle \nu }$ вложения ${\displaystyle N\rightarrow M}$. Таким образом, факторпространство ${\displaystyle {\bar {U}}/\partial {\bar {U}}}$ гомеоморфно пространству Тома расслоения ${\displaystyle \nu }$.

Аналог понятия трубчатой окрестности вводится и для топологических многообразий, где надо рассматривать локально плоские вложения (Kirby, Siebenmann. 1977).