Цилиндрическая конструкция

Цилиндри́ческая констру́кция, сопоставление с каждым непрерывным отображением топологических пространств ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ топологического пространства ${\displaystyle I_{f}\supset Y}$, которое получается из топологической суммы (несвязного объединения) ${\displaystyle X\times [0,1]\oplus Y}$ отождествлением ${\displaystyle x\times \{1\}=f(x)}$, ${\displaystyle x\in X}$. Пространство ${\displaystyle I_{f}}$ называется цилиндром отображения ${\displaystyle f}$. Подпространство ${\displaystyle Y}$ является деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle I_{f}}$. Вложение ${\displaystyle i:X=X\times \{0\}\subset I_{f}}$ обладает тем свойством, что композиция ${\displaystyle \pi \circ i:X\rightarrow Y}$ совпадает с ${\displaystyle f}$ (здесь ${\displaystyle \pi }$ – естественная ретракция ${\displaystyle I_{f}}$ на ${\displaystyle Y}$). Отображение ${\displaystyle \pi :I_{f}\rightarrow Y}$ – гомотопическая эквивалентность, и с гомотопической точки зрения каждое непрерывное отображение можно считать вложением и даже корасслоением. Аналогичное утверждение имеет место и для расслоения Серра. Для любого непрерывного отображения ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ определены с точностью до гомотопической эквивалентности слой и кослой, причём кослой ${\displaystyle f}$ имеет гомотопический тип надстройки над слоем ${\displaystyle f}$.