Число сплетения

Число́ сплете́ния, размерность ${\displaystyle c\left(\pi _{1},\pi _{2}\right)}$ пространства ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\pi _{1},\pi _{2}\right)}$ сплетающих операторов для отображений ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ множества ${\displaystyle X}$ в топологические векторные пространства ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$. Понятие «число сплетения» особенно плодотворно в случае, если ${\displaystyle X}$ – группа или алгебра, а ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ – её представления. Вообще говоря, даже для конечномерных представлений ${\displaystyle c\left(\pi _{1},\pi _{2}\right)\neq c\left(\pi _{2},\pi _{1}\right)}$, но для конечномерных представлений ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3}}$ справедливы равенства

${\displaystyle amp;c\left(\pi _{1}\oplus \pi _{2},\pi _{3}\right)=c\left(\pi _{1},\pi _{3}\right)+c\left(\pi _{2},\pi _{3}\right);}$
${\displaystyle amp;c\left(\pi _{1},\pi _{2}\oplus \pi _{3}\right)=c\left(\pi _{1},\pi _{2}\right)+c\left(\pi _{1},\pi _{3}\right),}$

а если ${\displaystyle X}$ – группа, то и равенство

${\displaystyle c\left(\pi _{1}\otimes \pi _{2},\pi _{3}\right)=c\left(\pi _{1},\pi _{2}^{*}\otimes \pi _{3}\right)}$.

Если ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ неприводимы, то ${\displaystyle c\left(\pi _{1},\pi _{2}\right)}$ равно 1 или 0 в зависимости от того, эквивалентны или нет представления ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$. Для непрерывных конечномерных представлений компактной группы число сплетения может быть выражено через характеры этих представлений.