Гензелево кольцо

Ге́нзелево кольцо́, коммутативное локальное кольцо, для которого выполняется лемма Гензеля или, в другом определении, для которого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца ${\displaystyle A}$ с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ последнее означает, что для любого унитарного многочлена ${\displaystyle P(X)\in A[X]}$ и простого решения ${\displaystyle a_{0}\in A}$ уравнения ${\displaystyle P(X)=0}$ по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ [т. е. ${\displaystyle P\left(a_{0}\right)\in {\mathfrak {m}}}$ и ${\displaystyle P^{\prime }\left(a_{0}\right)\notin {\mathfrak {m}}}$] существует элемент ${\displaystyle a\in A}$, такой, что ${\displaystyle P(a)=0}$ и ${\displaystyle a\equiv a_{0}({\bmod {\mathfrak {m}}})}$.

Примерами гензелевых колец являются полные локальные кольца, кольца сходящихся степенных рядов (и в более общем смысле, аналитические кольца), кольцо алгебраических степенных рядов (т. е. рядов из ${\displaystyle k\left[\left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\right]}$, алгебраических над ${\displaystyle k\left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]}$). Локальное кольцо, целое над гензелевым кольцом, есть гензелево кольцо; в частности, факторкольцо гензелева кольца есть гензелево кольцо. Для любого локального кольца ${\displaystyle A}$ существует общая конструкция – такая локальная гензелева ${\displaystyle A}$-алгебра ${\displaystyle ^{h}\!A}$ , что для любой локальной гензелевой ${\displaystyle A}$-алгебры ${\displaystyle B}$ существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle A}$-алгебр ${\displaystyle {{\ce {{}^h\! A -> B}}}}$. Алгебра ${\displaystyle ^{h}\!A}$ локального кольца ${\displaystyle A}$ является строго плоским ${\displaystyle A}$-модулем, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{h}\!A}$ будет максимальным идеалом алгебры ${\displaystyle ^{h}\!A}$, поля вычетов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle ^{h}\!A}$ канонически изоморфны, пополнения ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle ^{h}\!A}$ (в топологиях локальных колец) совпадают. Так, гензелевой ${\displaystyle A}$-алгеброй для ${\displaystyle k\left[X_{1},..,X_{n}\right]_{\left(X_{1}\ldots ,X_{n}\right)}}$ является кольцо алгебраических степенных рядов от ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$. Если ${\displaystyle A}$ – нётерово (соответственно приведённое, нормальное, регулярное, превосходное) кольцо, то таким же будет и ${\displaystyle ^{h}\!A}$. Напротив, если ${\displaystyle A}$ – целостное кольцо, то ${\displaystyle ^{h}\!A}$ может не быть целостным; более точно, существует биективное соответствие между максимальными идеалами целого замыкания кольца ${\displaystyle A}$ и минимальными простыми идеалами ${\displaystyle ^{h}\!A}$.

Гензелево кольцо с сепарабельно замкнутым полем вычетов называется строго локальным (или строго гензелевым) по причине локальности его спектра в этальной топологии схем; аналогично конструкции гензелевой ${\displaystyle A}$-алгебры ${\displaystyle ^{h}\!A}$ имеется функтор строгой гензелевой ${\displaystyle A}$-алгебры ${\displaystyle ^{sh}\!A}$. Понятие гензелева кольца можно вводить для полулокального кольца и даже в более общем смысле для пары кольцо – идеал.

Гензелево кольцо можно характеризовать как кольцо, над которым любая конечная алгебра есть прямая сумма локальных колец. Гензелевы кольца введены в (Azumaya. 1951); общая теория гензелевых колец и конструкция гензелевой ${\displaystyle A}$-алгебры разработаны в (Nagata. 1962).

В теории этальных морфизмов и этальной топологии гензелева ${\displaystyle A}$-алгебра понимается как индуктивный предел этальных расширений кольца. В коммутативной алгебре взятие гензелевой ${\displaystyle A}$-алгебры часто заменяет операцию пополнения, играющую важную роль при локальном исследовании объектов.