Лемма Гензеля

Ле́мма Ге́нзеля, утверждение, полученное К. Гензелем (Hensel. 1904) при создании теории p-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре. Говорят, что для локального кольца ${\displaystyle A}$ с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ выполняется лемма Гензеля, если для любого унитарного многочлена ${\displaystyle P(X)\in A[X]}$ и разложения ${\displaystyle {\bar {P}}(X)=q_{1}(X)\cdot q_{2}(X)}$ его редукции по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ в произведение двух взаимно простых многочленов

${\displaystyle q_{1}(X)\in (A/{\mathfrak {m}})[X],\quad q_{2}(X)\in (A/{\mathfrak {m}})[X]}$

существуют такие многочлены

${\displaystyle Q_{1}(X)\in A[X],\quad Q_{2}(X)\in A[X],}$

что

${\displaystyle P(X)=Q_{1}(X)\cdot Q_{2}(X),\quad {\bar {Q}}_{1}(X)=q_{1}(X),\quad {\bar {Q}}_{2}(X)=q_{2}(X)}$

(здесь черта обозначает образ при редукции ${\displaystyle A\to A/{\mathfrak {m}}}$). В частности, для любого простого корня ${\displaystyle \alpha }$ редуцированного многочлена ${\displaystyle {\bar {P}}(X)}$ существует решение ${\displaystyle a\in A}$ уравнения ${\displaystyle P({\text{Х}})=0}$, удовлетворяющее условию ${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha }$. Лемма Гензеля выполняется, например, для полного локального кольца. Лемма Гензеля позволяет сводить решение алгебраического уравнения над полным локальным кольцом к решению соответствующего уравнения над его полем вычетов. Так в кольце ${\displaystyle Z_{7}}$ ${\displaystyle 7}$-адических чисел из леммы Гензеля следует разрешимость уравнения ${\displaystyle X^{2}-2=0}$, т. к. это уравнение имеет два простых корня в поле ${\displaystyle F_{7}}$ из семи элементов. Локальное кольцо, для которого выполняется лемма Гензеля, называется гензелевым кольцом.

По поводу леммы Гензеля в некоммутативном случае см. в работе Zassenhaus. 1954^[1].