Теория приближения

Тео́рия приближе́ния (теория аппроксимации), раздел математического анализа, изучающий методы приближения одних математических объектов другими и вопросы, связанные с исследованием и оценкой возникающей при этом погрешности.

Основное содержание теории приближения относится к приближению функций. Фундамент теории приближения был заложен работами П. Л. Чебышёва (1854–1859) о наилучшем равномерном приближении функций многочленами и К. Вейерштрасca, установившего в 1885 г. принципиальную возможность приблизить непрерывную на конечном отрезке функцию алгебраическими многочленами со сколь угодно малой наперёд заданной погрешностью. Развитие теории приближения в значительной степени определялось основополагающими работами А. Л. Лебега, Ш.-Ж. де La Валле Пуссена, С. Н. Бернштейна, Д. Джексона, Ж. Фавара, А. Н. Колмогорова, С. М. Никольского о приближении функций и классов функций.

С развитием функционального анализа многие вопросы теории приближения стали рассматривать в самой общей ситуации, например как приближение элементов произвольного линейного нормированного пространства ${\displaystyle X}$. При этом выделяют три круга задач, которые в определённой степени соответствуют и основным хронологическим этапам развития исследований в теории приближения.

1. Приближение фиксированного элемента ${\displaystyle x\in X}$ элементами фиксированного множества ${\displaystyle {\mathfrak {R}}\subset X}$. Если в качестве меры приближения взять величину

${\displaystyle E(x,{\mathfrak {R}})=\inf _{u\in {\mathfrak {R}}}\|x-u\|,}$

т. е. наилучшее приближение ${\displaystyle x}$ множеством ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$, то, помимо исследования и оценки ${\displaystyle E(x,{\mathfrak {R}})}$, возникают вопросы о существовании элемента наилучшего приближения ${\displaystyle u_{0}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ [для которого ${\displaystyle \left\|x-u_{0}\right\|=E(x,{\mathfrak {R}})}$], его единственности и характеристических свойствах. Любой оператор ${\displaystyle A}$, отображающий ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$, задаёт некоторый метод приближения с погрешностью ${\displaystyle \|x-Ax\|}$. Если ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ – линейное многообразие, то особое значение имеют линейные операторы. Для последовательности ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}}$ таких операторов возникает задача об условиях сходимости ${\displaystyle A_{n}x\rightarrow x}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$.

2. Приближение фиксированного множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset X}$ элементами другого фиксированного множества ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ из ${\displaystyle X}$. Наилучшее приближение в этом случае выражается величиной

${\displaystyle E({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}})=\sup _{x\in {\mathfrak {M}}}E(x,{\mathfrak {R}}),}$

которая даёт минимально возможную оценку погрешности приближения любого элемента ${\displaystyle x\in X}$ элементами из ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$. В конкретных случаях задача состоит в том, чтобы оценить или точно выразить ${\displaystyle E({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}})}$ через характеристики, задающие множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$. Если приближение осуществляется с помощью оператора ${\displaystyle A}$, то исследуется верхняя грань

${\displaystyle \sup _{x\in {\mathfrak {M}}}\|x-Ax\|,}$

а также (если ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ – линейное многообразие) величина

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}})=\inf _{AX\subset {\mathfrak {R}}}\sup _{x\in {\mathfrak {M}}}\|x-Ax\|,}$

где нижняя грань распространена на все линейные операторы, отображающие ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$. Линейный оператор, реализующий эту нижнюю грань (если он существует), определяет наилучший линейный метод приближения. Особый интерес представляет выяснение случаев, когда ${\displaystyle {\mathcal {E}}({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}})=E({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}})}$.

3. Наилучшее приближение фиксированного множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset X}$ заданным классом ${\displaystyle \{{\mathfrak {R}}\}}$ aппроксимирующих множеств из ${\displaystyle X}$. Предполагается, что в класс ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ входят в каком-то смысле «равноценные» множества, например содержащие одно и то же количество элементов или имеющие одну и ту же размерность. Первый случай приводит к задаче об ${\displaystyle \varepsilon }$-энтропии множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ (относительно ${\displaystyle X}$), второй – к задачам вычисления поперечников множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ (в пространстве ${\displaystyle X}$), в частности величин

${\displaystyle d_{N^{\prime }}({\mathfrak {M}},X)=\inf _{{\mathfrak {R}}_{N}}E\left({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}}_{N}\right)}$ (1)

и

${\displaystyle d_{N}^{\prime }({\mathfrak {M}},X)=\inf _{{\mathfrak {R}}_{N}}{\mathcal {E}}\left({\mathfrak {M}},{\mathfrak {R}}_{N}\right),}$ (2)

где нижние грани берутся по всем подпространствам ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{N}}$ из ${\displaystyle X}$ фиксированной размерности ${\displaystyle N}$ (или по всевозможным их сдвигам ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{N}+a}$). Таким образом, в задачах (1)–(2) речь идёт об отыскании наилучшего (соответственно наилучшего линейного) аппарата приближения размерности ${\displaystyle N}$ для множества ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$.