Уравнение Уиттекера

Уравне́ние Уитте́кера, линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

${\displaystyle w''+{\Big (}{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}+{\frac {\lambda }{z}}-{\frac {1}{4}}{\Big )}w=0,}$ (*)

где переменные ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle w}$ и параметры ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ могут принимать любые комплексные значения. Уравнение (*) представляет собой приведённую форму вырожденного гипергеометрического уравнения и впервые исследовано Э. Т. Уиттекером (Whittaker. 1903). При ${\displaystyle \lambda =0}$ уравнение Уиттекера эквивалентно уравнению Бесселя. Если ${\displaystyle 2\mu }$ не является целым числом, то фундаментальную систему решений уравнения Уиттекера составляют функции ${\displaystyle M_{\lambda ,\,\mu }(z)}$ и ${\displaystyle M_{\lambda ,\,-\mu }(z)}$; здесь ${\displaystyle M_{\lambda ,\,\mu }(z)}$ – функция Уиттекера. При произвольных значениях параметров общее решение уравнения Уиттекера записывается также в виде линейной комбинации

${\displaystyle w=C_{1}W_{\lambda ,\,\mu }(z)+C_{2}W_{-\lambda ,\,\mu }(-z),}$

где ${\displaystyle W_{\lambda ,\,\mu }(z)}$ – функция Уиттекера.