Эквидистанта множества

Эквидиста́нта мно́жества ${\displaystyle M}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle R}$, граница трубчатой окрестности ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle R}$, образованной шарами одинакового радиуса ${\displaystyle d}$. Если ${\displaystyle M}$ – дифференцируемое подмногообразие ${\displaystyle M^{k}}$ в римановом пространстве ${\displaystyle V^{n}}$, то под эквидистантой понимают (в более узком смысле) множество концов равных отрезков, отложенных от точек ${\displaystyle M^{k}}$ на геодезических, перпендикулярных к ${\displaystyle M^{k}}$ в соответствующих точках. Если ${\displaystyle V^{n}}$ – полное, то эквидистанта – образ экспоненциального отображения векторов постоянной длины ${\displaystyle d}$ нормального расслоения ${\displaystyle M^{k}}$ в ${\displaystyle V^{n}}$. Если ${\displaystyle V^{n}}$ – неполное, то существует лишь при достаточно малых ${\displaystyle d}$.

Примеры эквидистант: 1) эквидистанта на плоскости Лобачевского (гиперцикл) – ортогональная траектория пучка прямых, перпендикулярных к некоторой прямой (к базисной прямой, или базе). Эквидистанта состоит из двух ветвей, расположенных по разные стороны от базисной прямой и вогнутых в сторону базы. Кривизна эквидистанты постоянна; 2) эквидистантой плоскости в пространстве Лобачевского является поверхность постоянной положительной внешней кривизны.