Конус над топологическим пространством

Ко́нус над топологи́ческим простра́нством ${\displaystyle X}$ (основанием конуса), пространство ${\displaystyle CX}$, получающееся из произведения ${\displaystyle X\times [0,1]}$ стягиванием подпространства ${\displaystyle X\times \{0\}}$ в одну точку ${\displaystyle W}$ (вершину конуса):

${\displaystyle CX=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})}$.

Другими словами, ${\displaystyle CX}$ – цилиндр постоянного отображения ${\displaystyle X\to W}$ (см. в статье Цилиндрическая конструкция) или конус тождественного отображения ${\displaystyle {\rm {id}}:X\to X}$ (см. в статье Коническая конструкция). Пространство ${\displaystyle X}$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом всякого конуса над ${\displaystyle X}$.

Понятие конуса над топологическим пространством обобщается в рамках теории категорий: множество морфизмов ${\displaystyle \alpha _{i}:A\to A_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, произвольной категории ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ с общим началом в объекте ${\displaystyle A}$ называется конусом морфизмов с вершиной ${\displaystyle A}$; двойственно, коконус морфизмов есть множество морфизмов ${\displaystyle \beta _{i}:A_{i}\to A}$, ${\displaystyle i\in I}$, с общим концом в объекте ${\displaystyle A}$ (см. Дольд. 1976^[1]; Спеньер. 1971^[2]; Цаленко. 1974^[3]).