Чебышёвское множество

Чебышёвское мно́жество, такое множество ${\displaystyle M}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,\rho )}$, что для любого ${\displaystyle x\in X}$ в ${\displaystyle M}$ существует единственный элемент наилучшего приближения, т. е. элемент ${\displaystyle y\in M}$, для которого ${\displaystyle \rho (x,y)=\rho (x,M)}$. Существование и единственность элемента наилучшего приближения являются простейшими, естественными требованиями, весьма удобными как с теоретической, так и с вычислительной точек зрения. Это и определяет роль чебышёвского множества в теории приближений и теории банаховых пространств. Логически понятие чебышёвского множества является развитием понятия системы Чебышёва.

Конечномерное векторное подпространство ${\displaystyle L\subset C(Q)}$ с базисом ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$ тогда и только тогда является чебышёвским множеством (чебышёвским подпространством), когда функции ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$ образуют систему Чебышёва (т. е. удовлетворяют условию Хаара). В евклидовом пространстве чебышёвскими множествами являются прямые, плоскости, выпуклые фигуры и тела. Нетривиальные примеры чебышёвских множеств рассматривал впервые П. Л. Чебышёв (Чебышёв. 1947^[1]). Это подпространство алгебраических многочленов степени ${\displaystyle \leqslant n}$ и множество рациональных функций с фиксированными степенями числителя и знаменателя в пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$. В евклидовых пространствах множество является чебышёвским множеством в том и только в том случае, когда оно замкнуто и выпукло.

В геометрии Лобачевского чебышёвское множество не обязано быть выпуклым (Болтянский. 1966). В двумерном нормированном пространстве, если оно негладко, легко строится невыпуклое чебышёвское множество. Существуют негладкие трёхмерные пространства, в которых каждое чебышёвское множество выпукло. В то же время имеются доказательства выпуклости чебышёвского множества при дополнительных условиях на множество и на пространство, а также условия, эквивалентные выпуклости для чебышёвского множества (см. в статье Aппроксимативная компактность).

Поскольку чебышёвские множества могут быть невыпуклыми, изучаются другие их характеристики. Чебышёвское множество ${\displaystyle M}$ называется солнцем (Ефимов. 1958), если для любых ${\displaystyle x\notin M}$ и ${\displaystyle z\in {\vec {x^{\prime }}}x}$ (где ${\displaystyle x^{\prime }}$ – точка в ${\displaystyle M}$, ближайшая для ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {\vec {x^{\prime }}}x}$ – луч с вершиной ${\displaystyle x^{\prime }}$, проходящий через ${\displaystyle x}$) точка ${\displaystyle x^{\prime }}$ является ближайшей в ${\displaystyle M}$ для ${\displaystyle z}$. Условия «${\displaystyle M}$ – выпукло» и «${\displaystyle M}$ – солнце» в гладких пространствах эквивалентны для чебышёвского множества ${\displaystyle M}$.

Свойства чебышёвского множества тесно связаны с аппроксимативной компактностью и непрерывностью метрической проекции. Пусть в банаховом пространстве ${\displaystyle X}$ задано чебышёвское множество ${\displaystyle M}$: если а) ${\displaystyle M}$ – ограниченное компактное множество или б) ${\displaystyle X}$ равномерно выпукло, а ${\displaystyle M}$ локально компактно, то ${\displaystyle M}$ является солнцем (при дополнительном условии «${\displaystyle X}$ гладко» – выпуклым множеством). Чебышёвское множество с непрерывной метрической проекцией выпукло в гладком рефлексивном пространстве, а в ${\displaystyle C[0,1]}$ является солнцем. В равномерно выпуклом банаховом пространстве всякое чебышёвское множество связно (даже пересечения с шарами связны). Однако в ${\displaystyle C[0,1]}$ семейство функций ${\displaystyle x_{\alpha }}$, где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$, ${\displaystyle x_{0}(t)=0}$, ${\displaystyle x_{\alpha }(t)=\alpha (\alpha +1)(\alpha +t)^{-1}}$ при ${\displaystyle \alpha >0}$, является чебышёвским множеством с изолированной точкой, т. е. несвязно и не является солнцем (Dunham. 1975).

В «хороших» пространствах достаточно много чебышёвских множеств. В банаховом пространстве ${\displaystyle X}$ каждое выпуклое замкнутое множество является чебышёвским множеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ строго выпукло (строго нормировано) и рефлексивно. В произвольном рефлексивном пространстве всегда существует чебышёвское множество – гиперплоскость. В ${\displaystyle n}$-мерном банаховом пространстве существуют чебышёвские подпространства всех размерностей ${\displaystyle \leqslant n}$ (Залгаллер. 1972). Существует пространство, в котором нет нетривиальных чебышёвских подпространств. В равномерно выпуклом банаховом пространстве каждое замкнутое множество ${\displaystyle M}$ является почти чебышёвским множеством в том смысле, что множество точек ${\displaystyle x\in X}$, для которых ближайшая точка в ${\displaystyle M}$ существует и единственна, является дополнением тощего множества в ${\displaystyle X}$. В сепарабельных пространствах существуют подпространства любой конечной размерности, являющиеся «почти чебышёвскими множествами». Существует пространство, изоморфное гильбертову, в котором метрическая проекция на некоторое чебышёвское подпространство разрывна.

Понятие чебышёвского множества допускает обобщения, скажем, вместо условия единственности элемента наилучшего приближения можно требовать известную «правильность» множества элементов наилучшего приближения для каждого ${\displaystyle x\in X}$, например компактность, связность или выпуклость. Результаты, получаемые при таких обобщениях, во многом аналогичны соответствующим результатам для чебышёвского множества.